Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 10

Sejam V um espaço vetorial real de dimensão n , com produto interno < , > e T : V → V um operador linear auto-adjunto. Se α for uma base ortonormal de V , chamemos de A a matriz T α α . Consideremos a transformação linear T A : C n → C n dada por

T A x 1 ⋮ x n = A x 1 ⋮ x n

Onde x i ∈ C C = c o n j u n t o   d o s   n ú m e r o s   c o m p l e x o s e o produto interno canônico em C n , dado por

< v , w > C = x 1 y 1 - + … + x n y - n

para v = x 1 ⋮ x n   e   w = y 1 ⋮ y n (Veja 8.6)

  1. Mostre que T A tem sempre autovalores. (Sugestão: Lembre-se de que um polinômio sempre tem raízes se estivermos trabalhando sobre os números complexos.)
  2. Mostre que < T A v , w > C =   < v , T A w > C para quaisquer v , w ∈ C n . (Sugestão: Siga a ideia do teorema 9.2.3.)
  3. Mostre que os autovalores de T A são necessariamente reais. (Sugestão: Chame de λ   u m   a u t o v a l o r   d e   T A   c o m   a u t o v e t o r   v . Lembre que para um número complexo λ ser real, basta que ele seja igual ao seu conjugado. Desenvolva então < T A v , v > C de dois modos distintos, utilizando o item (b) e as propriedades de produto interno sobre um espaço vetorial complexo. Veja 8.6)
  4. Mostre que os autovalores de T e T A são os mesmos.
  5. Usando os resultados anteriores, conclua que um operador linear auto-adjunto tem autovalores e eles são necessariamente reais.

Passo 1

  1. Observe que T A é uma extensão de A para o conjunto dos complexos. Do nosso estudo, sabemos que o polinômio característico possui grau n e, nesse caso, como estamos admitindo os complexos, pelo teorema fundamental da álgebra, o polinômio característico sempre terá n raízes considerando-se suas multiplicidades.

    2. Passo 2

  2. Essa questão fica simples se a gente escrever o que tá acontecendo com cuidado e lembrar que A é simétrica, já que a transformação é auto-adjunta expressa em base ortonormal.

    3. Bom, vamos expandir o lado esquerdo.

    Você concorda que a componente i do vetor T A v é dada por:

    a i 1 x 1 + … + a i n x n ?

    Certo, então o produto interno do lado esquerdo vai ficar:

    a 11 x 1 y 1 - + … + a 1 n x n y 1 - +

    + a 21 x 1 y 2 - + … + a 2 n x n y 2 - +

    ⋮

    + a n 1 x 1 y n - + … + a n n x n y n -

    Agora, você concorda que a componente i do vetor T A w é:

    a i 1 y 1 + … + a i n y n

    Então o produto interno do lado direito é:

    x 1 a 11 y 1 - + … + x 1 a 1 n y n - +

    + x 2 a 21 y 1 - + … + x 2 a 2 n y n - +

    ⋮

    + x n a n 1 y 1 - + … + x n a n n y n - +

    Mas T é uma transformação real, do que segue que a i j deve ser real, dai a gente escreve:

    x 1 a 11 y 1 - + … + x 1 a 1 n y n - +

    + x 2 a 21 y 1 - + … + x 2 a 2 n y n - +

    ⋮

    + x n a n 1 y 1 - + … + x n a n n y n -

    Agora vem a mágica: olhe para a “coluna” da soma que foi colocada acima. Para generalizar, vamos pegar uma “coluna” i :

    x 1 a 1 i y i - + … + x n a n i y i -

    Mas a matriz é simétrica, então a gente pode escrever:

    x 1 a i 1 y i - + … + x n a i n y i -

    Oras, mas se a gente somar isso de i indo de 1 até n vamos ter o produto interno do lado esquerdo, basta olhar as “linhas” da soma que a gente escreveu mais acima para o produto interno da esquerda.

    Passo 3

  3. Vamos usar a sugestão dada. Seja λ um auto-valor associado a um auto-vetor v . Então a gente tem que:

    4. T A v = λ v

    Mas do item b), a gente pode escrever que:

    < T A v , v > C =   < v ,   T A v > C

    Ai gente troca T A v por λ v :

    < λ v , v > C =   < v ,   λ v > C

    De 8.6 podemos escrever que:

    < λ v , v > C =   < λ v , v > C - = λ < λ v , v > C - = λ - < v , v > C - = λ - < v , v > C

    Mas:

    < λ v , v > C = λ < v , v > C

    Como < v , v > C ≠ 0 pois auto-vetores são não nulos, então:

    λ = λ -

    Mas se um número complexo é igual ao seu conjugado, então ele é necessariamente real!

    Passo 4

  4. Do nosso estudo da mudança de base, sabemos que as matrizes que representam uma mesma transformação linear são semelhantes. Isto é:

    5. T = P T α α P - 1

    Onde P e P - 1 são as matrizes de mudança de base.

    Sabemos que matrizes semelhantes possuem o mesmo polinômio característico, do que segue que possuem os mesmo auto valores.

    Passo 5

  5. Usando o item a , o item c e d , podemos concluir que um operador linear auto-adjunto sempre possuem autovalores (item a), eles são reais (item c) e como podemos extender esse resultado de uma base ortonormal para qualquer outra (item d) isso é sempre válido.

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que se T é uma transformação ortogonal do plano no plano, sua matriz em relação à base canônica só pode ser da forma: A = cos ⁡ α - s e nα s e nα cos ⁡ α Ou da forma: B = cos ⁡ α s e nα s e nα
Seja V um espaço vetorial real de dimensão n , T : V → V um operador linear auto-adjunto e v ∈ V um autovetor de T .Mostre que [ v ] , o espaço gerado por v , é invariante por aplicação do aperador T
Seja α = { w 1 , w 2 , w 3 } uma base de V , um espaço vetorial real com produto interno , . u α = 2 - 1 3ev α = 5 2 - 3 Se u , v = 2 , a base α é ortonormal?
Ache os valores para x e y tais que x y - 1 0 seja uma matriz ortogonal.