Sejam S = e 1 ,e 2 a base canônica de R 2 e B a base que resulta quando os vetores de S são refletidos em torno da reta que faz um ângulo θ com o eixo x positivo.a) Encontre a matriz de transição P B → S .b) Seja P B → S e mostre que P T = P S → B .

P B → S = cos ⁡ 2 θ s e n2 θ s e n2 θ - cos ⁡ 2 θ

Enunciado

Fala pessoal, nesse problema vamos falar um pouco sobre a reflexão de pontos no plano cartesiano.

O enunciado forneceu a base canônica com

Para achar os vetores de , temos que refletir os vetores e em torno da reta . Essa é reta que faz um ângulo com o eixo positivo.

Vamos ver o que acontece com quando é refletido:

Quando refletimos , obtemos cuja norma deve ser . Além disso, o ângulo que faz com o eixo é . Portanto, as coordenadas de são

Analagamente, refletindo em torno dessa reta, obtemos que que forma um ângulo com o eixo . Portanto, o ângulo formado com o eixo é

Assim,

Ou ainda,

Note que

Para construir a matriz de mudança de base de para , pegamos as coordenadas dos vetores de escritos na base e as colocamos nas colunas da matriz:

A matriz achada no item (a) é chamada de :

Sabemos que é a inversa de . Para achar a inversa, usamos o truque das matrizes :

Assim,

Como , temos que

Mas note também que a transposta de é

Portanto,