Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.6 - Ex. 12
Sejam a base canônica de e a base dada por e .
a) Encontre a matriz de transição por inspeção.
a) Use a fórmula (14) para encontrar a matriz de transição .
b) Confirme que e são inversas uma da outra.
d) Seja . Encontre e então use a fórmula (11) para calcular .
e) Seja . Encontre e então use a fórmula (12) para calcular .
Passo 1
O item (a) pede para escrever a matriz de transição da base para a base (canônica). Para isso, temos que escrever os vetores da base com suas coordenadas na base :
Se a base não fosse a canônica, isso daria muito mais trabalho, então sempre agradeça quando a base do problema for a canônica!
Agora ficou fácil, basta escrever as coordenadas na coluna da matriz:
Passo 2
Eu sei que você já sabe que basta inverter a matriz do item (a) que achamos a resposta do item (b). Mas o exercício quer que usemos o método dado pela fórmula (14). Para isso, escrevemos a matriz expandida:
A brincadeira aqui é a seguinte: vamos fazer operações de linhas para transformar a matriz do lado esquerdo na identidade. A matriz que sobrar no lado direito será a matriz procurada!
Primeiro vamos inverter as linhas:
Agora, multiplicamos a primeira linha por e somamos com a segunda:
Observe que já dividi a segunda linha por . Agora, multiplicamos a segunda linha por e somamos com a primeira:
Com isso, achamos
Passo 3
Agora vamos para o item (c). Temos que verificar que é a inversa de . Para isso, multiplicamos as duas matrizes:
Da mesma forma,
Provamos assim que uma matriz é a inversa da outra, pois o produto delas é a identidade!
Passo 4
Vamos agora ao item (d)! Temos que considerar o vetor
Primeiro temos que escrever as coordenadas desse vetor na base . Assim, escrevemos
Logo,
Com isso, caímos no sistema:
Resolvendo esse sistema, achamos
Portanto, temos que
Ou ainda,
Para achar , usamos
Portanto,
Ou ainda,
Passo 5
Por fim, vamos ao item (e). Agora, temos o vetor
Como a base é canônica, temos que
Para achar , usamos a expressão
Com isso, achamos