Sejam a base canônica de e a base dada por e .

a) Encontre a matriz de transição por inspeção.

a) Use a fórmula (14) para encontrar a matriz de transição .

b) Confirme que e são inversas uma da outra.

d) Seja . Encontre e então use a fórmula (11) para calcular .

e) Seja . Encontre e então use a fórmula (12) para calcular .

Eu sei que você já sabe que basta inverter a matriz do item (a) que achamos a resposta do item (b). Mas o exercício quer que usemos o método dado pela fórmula (14). Para isso, escrevemos a matriz expandida:

A brincadeira aqui é a seguinte: vamos fazer operações de linhas para transformar a matriz do lado esquerdo na identidade. A matriz que sobrar no lado direito será a matriz procurada!

Primeiro vamos inverter as linhas:

Agora, multiplicamos a primeira linha por e somamos com a segunda:

Observe que já dividi a segunda linha por . Agora, multiplicamos a segunda linha por e somamos com a primeira:

Com isso, achamos

Agora vamos para o item (c). Temos que verificar que é a inversa de . Para isso, multiplicamos as duas matrizes:

Da mesma forma,

Provamos assim que uma matriz é a inversa da outra, pois o produto delas é a identidade!

Vamos agora ao item (d)! Temos que considerar o vetor

Primeiro temos que escrever as coordenadas desse vetor na base . Assim, escrevemos

Logo,

Com isso, caímos no sistema:

Resolvendo esse sistema, achamos

Portanto, temos que

Ou ainda,

Para achar , usamos

Portanto,

Ou ainda,

Por fim, vamos ao item (e). Agora, temos o vetor

Como a base é canônica, temos que

Para achar , usamos a expressão

Com isso, achamos