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Exercícios de Matriz de Mudança de Base - Lista de Exercícios Resolvida

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Questão 1

Sejam α ,   β ,   γ bases do espaço vetorial V , e sejam

A = I α ← β ,   B = I γ ← β ,   C = I γ ← α

matrizes de mudança de base. Então:

a   B - 1 C = A

b   B C - 1 = A - 1

c   B C - 1 = A

d   B - 1 C = A - 1

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Questão 2

Seja P 1 o espaço euclidiano dos polinômios p x = a x + b e considere a base β = 2 x - 2,2 x + 2 . Se γ é uma base tal que a matriz de mudança de base de β para γ

I γ ← β = 1 - 2 1 - 1

então a base γ é:

a   γ = - 4 x , 6 x - 2

b   γ = - 4 x - 6 , - 2

c   γ = { 2 x - 2 ,   2 x + 2 }

d   γ = { 8 ,   8 x }

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Questão 3

À questão “Seja L : R 2 ⟶ R 2 a transformação linear definida por L 1,0 = ( 1,0 ) e L 1,1 = ( 0 , 0 ) . Encontre a matriz de L associada a base canônica de R 2 ”, Joãozinho respondeu:

A resposta do Joãozinho está errada pois L 1,1 deveria dar ( 0,0 ) . Indique qual foi o erro que Joãozinho cometeu e explique a sua afirmação.

OBS: Este item não pede a resposta certa, pede para explicar ao Joãozinho o seu erro.

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Questão 4

Em ℘ 2 , considere a base β = { 1 + X ,   X ,   1 - X 2 } . Seja α uma outra base tal que I β α = 1 1 1 1 2 1 0 1 1 .

a) Determine o polinômio p X ∈   ℘ 2 tal que p X α = 1 ,   - 1 ,   2 T .

b) Determine a matriz I α β .

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Questão 5

À questão “Seja L : R 2 ⟶ R 2 a transformação linear definida por L 1,0 = ( 1,0 ) e L 1,1 = ( 0 , 0 ) . Encontre a matriz de L associada a base canônica de R 2 ”, Joãozinho respondeu:

( c ) A resposta do Joãozinho está errada pois L 1,1 deveria dar ( 0,0 ) . Indique qual foi o erro que Joãozinho cometeu e explique a sua afirmação.

OBS: Este item não pede a resposta certa, pede para explicar ao Joãozinho o seu erro.

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Questão 6

Considere a transformação linear T : R 2 ⟶ R 2 definida pela figura abaixo:

( a ) Determine uma expressão para a imagem T ( x , y ) de um vetor x , y ∈ R 2

( b ) Determine T β ← γ onde β = 1,0 , 0,1 e γ = 1,1 , 1 , - 1

( c ) Determine as matrizes de mudança de base de β para γ e de γ para β .

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Questão 7

Sejam α , β , γ bases do espaço vetorial V , e sejam

A = I α ← β                     B = I γ ← β                     C = I γ ← α

matrizes de mudança de base. Então:

a   B - 1 C = A

b   B C - 1 = A

c   B C - 1 = A - 1

d   B - 1 C = A - 1

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Questão 8

Considere os vetores u 1 ,   u 2 e u 3   de R 3 cujas coordenadas na base canônica ε = i ,   j ,   k de R 3   são:

u 1 ε = 1 ,   2 ,   1 ,     u 2 ε = a ,   0 ,   1 ,     u 3 ε = 0 ,   b ,   c ,  

Onde a ,   b ,   c são números reais todos diferentes de 0 .

  1. Determine valores de a ,   b ,   c para que os vetores u 1 ,   u 2 ,   u 3 sejam linearmente dependentes e o subespaço gerado por eles seja o plano vetorial:

    2. π = v ∈ R 3 : v ε = x ,   y ,   z ,     o n d e   2 x + y - 4 z = 0

  2. Suponha agora que

    3. β = u 1 , u 2 ,   u 3

    É uma base de R 3 e que u é um vetor de R 3 cujas coordenadas na base β e canônica ε são:

    u ε = 3 ,   4 ,   3 ,     u β = 1 ,   1 ,   1

    Determine os valores de a ,   b ,   c .

  3. Seja α = v 1 ,   v 2 ,   v 3 uma base de R 3 . Considere a nova base de R 3 :

    4. δ = v 1 + v 3 ,   v 1 + v 2 ,   v 2 + v 3

    Sabendo que as coordenadas do vetor w na base α são:

    w α = 1 ,   1 ,   1

    Determine as coordenadas de w δ de w na base δ .

  4. Considere o plano ρ de equação cartesiana:

ρ = v ∈ R 3 : v ε = x ,   y ,   z ,     o n d e     x - 2 y + z = 0

E sua base:

γ = w 1 ,   w 2

Onde

w 1 ε = 1 ,   0 ,   - 1 ,     w 2 ε = 1 ,   1 ,   1  

Considere o vetor m de ρ cujas coordenadas na base canônica são

m ε = 2 ,   3 ,   4

Determina as coordenadas de m na base γ .

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Questão 9

Considere a transformação linear T : R 3 → R 3   cuja matriz na base canônica a do R 3 é

T a a = 3 0 0 0 2 1 0 1 2

  1. Encontre uma base ortonormal β (referente ao produto interno canônico) tal que T β β é diagonal.
  2. Escreva T β β .
  3. Escreva T a β

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Questão 10

Seja T : R 2 → P 1 R uma transformação linear. Considere α = 1,1 , - 1,0 e β = - x , 2 + x bases para R 2 e P 1 R respectivamente. Temos que T β α = 1 2 3 0 .

b Considere a base δ = 1 , x de P 1 R e determine T δ α .

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Questão 11

Seja V = P 2 o espaço vetorial dos polinômios de grau até 2 , e sejam os subespaços W 1 = 1 + x , 1 - x , W 2 = x 2 .

a Qual as dimensões de V , W 1 e W 2 ? Justifique!

b Defina W 1 ∩ W 2 , W 1 ∪ W 2 e W 1 + W 2 , determine quais são subespaços de V e obtenha bases para esses subespaços.

c Justifique porque W 1 + W 2 = V , e ache a matriz de mudança de base entre α , a base canônica de V , e β , a base obtida acima (item b ).

d Se v → β = 1 1 1 , ache v → α .

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Questão 12

Considere as bases do R 2

γ = - 1,1 , - 1,0

σ = 0,1 , - 1 , - 1

E a transformação linear T : R 2 → R 2 cuja matriz na base γ é:

T γ = 3 - 2 1 - 1

(a) Determine explicitamente as matrizes de mudança de base da base γ   para a base σ e da base σ para a base γ .

(b) Determine explicitamente a matriz T σ da transformação linear T na base σ .

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Questão 13

Seja P 1 o espaço dos polinômios p x = a x + b e considere a base β = 2 x - 2,2 x + 2 . Se γ é uma base tal que a matriz de mudança de base de β para γ é I γ ← β = 2 - 3 1 - 1 , então a base γ é:

a   γ = 8,8 x

b   γ = - 4 x - 10 , - 2

c   γ = - 4 x , 10 x - 2

d   γ = 2 x - 2,2 x + 2

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Questão 14

Sejam u = ( 1 , - 1 ) , v = ( 1,2 ) e γ = { u , v } . Considere T   : R 2 → R ² uma transformação linear tal que

T γ = 1 2 - 1 3

  1. Seja w = - 3 u + 2 v . Determine:

a.1) [ T w ] γ

a.2) T ( w )

b) Determine T ( 1,0 ) e T ( 0,1 ) .

c) Determine [ T ] ε , onde ε é a base canônica de R ² .

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Questão 15

Responda:

Seja T : P 1 ⟶ P 2 uma transformação linear tal que T a + b t = a + a t + b t 2   e seja α = t + 1 , t - 1 uma base de P 1 e β = t 2 + 1 ,   t - 1 , t + 1 uma base de P 2 .   Determine T β α .

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Questão 16

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(b.1) Se A   = 1 - 1 3 1 , então A - 1 = 1 4 1 1 - 3 1

(b.2) Se T :   R 2 → R 2     é uma transformação linear tal que sua matriz na base β = 1 ,   3 , - 1 ,   1 é T β = 2 1 0 - 1 ,     então T ( x ,   y )   =   ( - x   + y ,   2   y ) .

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Questão 17

Seja W = a b 0 c ;   ∀ a , b , c ∈ R subespaço de M 2 × 2 R .   Seja β uma base de   W :   β = 1 0 0 0 , 1 1 0 0 , 1 1 0 1 . Encontre a base α de W   tal que I β α = 1 2 0 0 1 - 1 2 0 1 .

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Questão 18

Considere a base γ = 1 0 0 0 ,   0 1 0 0 ,   0 - 1 1 0 ,   0 0 0 - 1 e a matriz de mudança de base

I γ α = 1 2 1 1 2 - 1 2 0 - 1 1 0 0 0 1 1 1

a) Determine as matrizes de base α .

b) Se V α = 3 - 1 1 2 , determine V γ .

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Questão 19

Seja T :   R 3 → R 3 a transformação linear dada por T x 1 ,   x 2 ,   x 3 = ( x 1 - x 2 + x 3 ,   x 1 - 2 x 3 ,   2 x 1 + x 2 ) .

a) Sendo C a base canônica de R 3 , determine T C C .

b) Com respeito à base B = { 1 ,   0 ,   - 1 ,   - 1 ,   0 ,   2 ,   0 ,   2 ,   0 } , determine I B C e T B C .

c) Seja agora S :   R 2 → R 2 a transformação linear tal que S 1 ,   1 = ( 1 ,   2 ) e S - 2 ,   0 = ( 3 ,   4 ) . Determine S ( x ,   y ) .

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Questão 20

Seja T : P 1 → P 1 uma transformação linear. E sejam α = 1 + x , 1 - x e β = 2 , - x bases do P 1 . Considere T β α = 1 2 2 2

b Sendo a transformação inversa T - 1 : P 1 → P 1 , determine T - 1 α β .

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Questão 21

Seja β = 1 + x , x , x 2 + x uma base para P 2 = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ; ∀ a i ∈ R , i = 0,1 , 2 . E seja α outra base para o espaço vetorial P 2 tal que I β α = 1 0 1 0 2 1 2 0 - 1 .

a Determine o vetor v tal que v α = 2 1 0 .

b Encontre a base α .

c Calcule a matriz I α β .

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Questão 22

Sejam B e C duas bases de V 3 , e u → ∈ V 3 . Se u → = - 1,1 , - 1 B e :

M B , C = 1 - 2 1 2 - 3 - 1 - 1 1 3

A matriz de mudança de base, então temos:

  1. u → = 10,6 , 1 C ;
  2. u → = - 4 , - 4 , - 1 C ;
  3. u → = - 3 ,   - 4 ,   - 1 C ;
  4. u → = - 4 ,   - 6 ,   - 1 C ;
  5. u → = 20,6 , 1 C ;

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Questão 23

Dizemos que duas matrizes A , B ∈ M 2 × 2 ( R ) comutam se satisfazem A B = B A . Considere o conjunto C ( A ) de todas as matrizes que comutam com A

C A = B ∈ M 2 × 2 R A B = B A }

( b ) Seja Q uma matriz inversível e A ' = Q - 1 A Q . Mostre que a transformação linear S definida por S B = Q - 1 B Q é uma bijeção de C ( A ) para C ( A ' ) .

(Dica: Verifique o contra-dominio de S e exiba a transformação inversa S - 1 .)

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Questão 24

Considere as bases de vetores ε = { i , j , k } e β = v 1 , v 2 , v 3 de R 3 onde

i = 1,0 , 0 ,   j = 0,1 , 0 ,   k 0,0 , 1

v 1 = i = 1,0 , 0 ,   v 2 = i + j = 1,1 , 0 ,   v 3 = i + j + k = ( 1,1 , 1 )

Considere a transformação linear T : R 3 → R 3 definida por

T i = 0 = 0,0 , 0 ,   T j = i ,   T k = 2 j

Determine:

(a) A matriz T ε   de T na base ε .

(b) As matrizes de mudança de base da base ε para a base β e da base β para a base ε .

(c) A matriz T β de T   na base β .

Considere agora o espaço vetorial P 2 dos polinômios de grau menor ou igual a 2 e suas bases

γ = p i x = 1 , p j x = x , p k x = x 2

η = q 1 x = p i x , q 2 x = p i x + p j x ,   q 3 x = p i x + p j x + p k x

Podemos também usar a notação:

γ = 1 , x , x 2

η = 1,1 + x , 1 + x + x 2

Considere a transformação linear D : P 2 → P 2 que corresponde à derivada, definida por:

D p i x = D 1 = 0 ,   D p j x = D x = 1 , D p k x = D x 2 = 2 x

(d) Determine as matrizes D γ de D na base γ e D η de D   na base η .

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Questão 25

Seja β = 2,2 , - 4,6 . A matriz que, ao multiplicar um vetor qualquer x , resulta nas coordenadas de x com relação à base β é

a   2 - 4 2 6

b   2 - 4 2 6 - 1

c   2 2 - 4 6

d   2 2 - 4 6 - 1

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Questão 26

Sejam α = { 1,1 , - 1,1 } e β = { 1,6 , 1,7 } duas bases de R 2 . A matriz I β ← α   de mudança de base de α para β é igual a:

(a) 13 - 2 1 0

(b)   6 - 8 - 5 7

(c) 6 - 5 - 8 7

(d)   13 1 - 2 0

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Questão 27

Sejam

Β = { e → 1 ,   e → 2 , e → 3 } e C = { f → 1 , f → 2 , f → 3 }

Bases de V 3 e considere o vetor v → = 2 ,   - 1 ,   3 Β . Denote por M β C a matriz cujas colunas são [ f → 1 ] β , f → 2 β ,   f → 3 β .   Se

M β C = 1 - 1 1 2 - 3 1 - 1 1 - 2

Então as coordenadas de v → na base C serão:

a) 6 ,   10 ,   - 9 ;

b) ( 17 ,   10 ,   - 5 ) ;

c) 4 ,   10 ,   - 9 ;

d) 6,4 ,   - 9 ;

e) ( 15 ,   10 ,   - 5 ) ;

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Questão 28

Sejam α = 1,0 , 0,1 e β = 5,3 , 7,4 duas bases de R 2 . A matriz de mudança da base α para a base β é igual a

( a ) 5 7 3 4

( b ) - 4 7 3 - 5

c - 4 3 7 - 5

( d ) 5 3 7 4

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Questão 29

Sejam E e F bases de V 3 . Suponha que E = e 1 , e 2 , e 3 e que

e 1 = x , y , z F

e 2 = 0,3 , 3 F

e 3 = 0,0 , 2 F

Seja M ∈ M 3 ( R ) a matriz que satisfaz M u F = u E , para todo u ∈ V 3 . Considere o vetor v ∈ V 3 tal que v = 1,1 , 1 E . Sabendo que v = 2,1 , 3 F , é correto afirmar que o determinante de M é igual a

a) 12

b) 24

c) 3

d) 1 3

e) 1 12

f) 1 24

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Questão 30

Seja α = 1 , 0,1 , 0,1 , 1 , - 1,0 , 0 e β = v 1 , v 2 , v 3 bases do espaço vetorial R 3 . Seja I β α = 2 1 0 3 1 1 0 3 2

a Determine para o vetor v = 1 , 2,3 suas coordenadas em β : v β

b Para δ = 0 , - 1,0 , 1,0 , 0 , 0,0 , 1 calcule a matriz I γ α

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Questão 31

Denote por B a base de R 2 dada por

B = { 1,0 ,   ( 2 ,   1 ) }

E por C a base canônica de R 2 . Seja T : R 2 → R 2 a transformação linear tal que:

T B C = 2 - 1 2 1

Temos que a soma das entradas na diagonal principal da matriz T ∘ T C é igual a:

Escolha uma opção:

  1. 4
  2. 3
  3. - 7
  4. - 1
  5. 1 / 2

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Questão 32

Sejam α = 1,1 , - 1,1 e β = 1 , - 4 , - 3,13 duas bases de R 2 . A matriz I β ← α de mudança de base de α para β é igual a:

a   9 2 17 4

b   16 5 - 10 - 3

c   16 - 10 5 - 3

d   9 17 2 4

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Questão 33

Considere as bases B e C de P 2 ( R ) dadas por:

B = { 1 + t + t 2 ,   1 - 7 t + t 2 ,   t + t 2 } e C = { 7 + 2 t ,   3 + t ,   t 2 }

Denotando por I :   P 2 R → P 2 ( R ) a transformação identidade, teremos que a soma dos elementos na diagonal principal da matriz I B C será igual a:

  1. - 52
  2. 52
  3. 65 / 8
  4. 63 / 8
  5. 6

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Questão 34

Em P 2 considere a base β = 1 + x , x 2 , 1 - x e seja

I β α = - 1 1 0 0 - 1 1 2 1 2

a Encontre p x tal que p x α = 3 4 0

b Encontre a base α de P 2 .

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Questão 35

Considere as seguintes bases para R 2 :

α = 1,0 , 0,1 e β = 1,1 , 1,2 . Dado que o vetor de coordenadas de v → na base α é a , b T , qual é o vetor de coordenadas de v → na base β ?

a   2 a - b , b - a T

b   3 a - b , 2 b - a T

c   2 b - a , 3 a - b T

d   b - a , 2 a - b T

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Questão 36

Seja T : R 2 → R 2 uma transformação linear e α , β e γ bases do R 2 tais que

e

(a) Sabendo que v β = - 1 3 , determine v γ .

(b) Sabendo que α = { 1,2 , 0 , - 1 } , determine T v .

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Questão 37

Seja T : P 1 ( R ) → P 1 ( R ) uma transformação linear, sejam α = { x , 1 - x } e β = { 2 - x ,   1 + 2 x } bases de P 1 R , e [ T ] α α = 1 2 3 4 .

  1. Para v = 3 + 2 x   calcule sua imagem T v .
  2. Determine a matriz mudança de base [ I ] α β .
  3. Determine a matriz da transformação [ T ] β β .

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Questão 38

Considere, em E 3 , o cubo de vértices A , B , C , D , E , F , G , H e aresta unitária, conforme a figura

Suponha V 3 orientado de modo que a base B = A B , A C , A E seja positiva, e considere os vetores u = 2 , - 2,1 B e v = - 1,2 , 1 B . Então, as coordenadas, em relação à base B , do produto vetorial u ∧ v são

a) - 4,1 , 1

b) - 5,1 , 2

c) - 5 , - 3,1

d) - 3 , - 2,1

e) - 3 , - 1 , - 1

f) - 4 , - 3,2

g) - 7,2 , 1

h) - 5,2 , - 1

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Questão 39

Considere o espaço vetorial R 2 munido do seu produto interno usual. Sejam T : R 2 → R 2 e S : R 2 → R 2 os operadores lineares tais que:

T B C = 5 - 5 / 2 0 5 / 2                   e                       S C B = 2 0 - 1 - 1

Em que B e C são as bases de R 2 dadas por:

B = 2,1 , 1 , - 2               e                 C = { 1,1 , ( 1 , - 1 ) }

Assinale a alternativa correta:

  1. T é simétrico e S não é simétrico;
  2. T e S são ambos simétricos;
  3. Nem T nem S são simétricos e as matrizes T B e S B são semelhantes;
  4. Nem T nem S são simétricos e as matrizes T B e S B não são semelhantes;
  5. S é simétrico e T não é simétrico.

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Questão 40

Considere a base

B = { 1 , t + 1 ,   t 2 + t + 1 }

De P 2 ( R ) , a base

C = { 1,0 , 1 ,   1,1 , 0 , ( 0,1 , 1 ) }

De R 3 e a base D = { 1 , t , t 2 } de P 2 ( R ) . Sejam

T : P 2 R → P 2 R                         S : P 2 R → R 3

Transformações lineares tais que:

S 1 = 2,2 , 2 ,                     S t + 1 = 3,5 , 2 ,                   S t 2 + t + 1 = ( 2,1 , 1 )

E:

S ∘ T B C = 6 5 3 12 5 0 4 0 - 1

Temos que o determinante da matriz T D é igual a:

  1. 10
  2. - 30
  3. - 10
  4. 30
  5. - 3

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