Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.6 - Ex. 17
Sejam e as bases de dadas por , , , , e .
a) Encontre a matriz de transição .
b) Seja . Encontre e então usa a matriz obtida na parte (a) para calcular por multiplicação matricial.
c) Confira seu resultado na parte (b) calculando diretamente.
Passo 1
Esse é um problema típico de mudança de base. No item (a), queremos achar a matriz de transição da base (base velha) para a base (base nova). Para isso, usamos o método da equação (14) construindo a matriz expandida:
Logo,
Vamos fazer operações de linha para transformar a matriz do lado esquerdo na identidade. Primeiro vamos trocar a primeira linha com a segunda:
Agora multiplicamos a primeira linha por e somamos com a segunda. Na mesma passagem, vamos multiplicar a primeira linha por e somar com a terceira:
Agora somamos a segunda linha com a terceira:
Em seguida, somamos a terceira linha com a segunda:
Agora, multiplicamos a primeira linha por e somamos com a segunda:
Portanto,
Passo 2
Agora vamos considerar o vetor
Temos que achar as coordenadas desse vetor na base . Note que:
Eu sei que você deve estar imaginando: como ele fez isso tão rápido? Como eu ia pensar nisso? Geralmente, não conseguimos ter essas sacadas de cara e montamos um sistema do tipo
Se a gente montasse esse sistema e resolvesse, iríamos achar
Mas sempre que eu me deparo com um problema desses, eu faço umas continhas de cabeça somando os vetores e fazendo combinações simples para ver se uma delas dá certo. Caso dê certo, eu fujo do sistema 😊
Com isso, achamos
Daí, basta usar
Portanto,
Passo 3
No item (c) só precisamos verificar as contas:
Assim,
Logo,
Com isso, verificamos que nossas contas estão corretas!