Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.6 - Ex. 14
Seja e as bases de dads por , , e .
a) Use a fórmula (14) para encontrar a matriz de transição .
a) Use a fórmula (14) para encontrar a matriz de transição .
b) Confirme que e são inversas uma da outra.
d) Seja . Encontre e use a matriz para calcular a partir de .
e) Seja . Encontre e use a matriz para calcular a partir de .
Passo 1
No item (a) temos que achar a matriz de transição da base para base . Para isso, temos que escrever os vetores de com suas coordenadas dadas em termos de . Desta forma, podemos escrever
Resolvendo esse sistema, achamos
Da mesma forma
Portanto,
Esses vetores são as colunas da matriz :
Passo 2
Eu sei que você já sabe que basta inverter a matriz do item (a) que achamos a resposta do item (b). Mas o exercício quer que usemos o método dado pela fórmula (14). Para isso, escrevemos a matriz expandida:
A brincadeira aqui é a seguinte: vamos fazer operações de linhas para transformar a matriz do lado esquerdo na identidade. A matriz que sobrar no lado direito será a matriz procurada!
Primeiro, vamos multiplicar a primeira linha por e a segunda por :
Somando a primeira linha com a segunda:
Agora fazemos a segunda linha menos a primeira:
Por fim, multiplicamos a primeira linha por e segunda por :
Portanto,
Passo 3
Agora vamos para o item (c). Temos que verificar que é a inversa de . Para isso, multiplicamos as duas matrizes:
Da mesma forma,
Provamos assim que uma matriz é a inversa da outra, pois o produto delas é a identidade!
Passo 4
Vamos agora ao item (d)! Temos que considerar o vetor
Primeiro temos que escrever as coordenadas desse vetor na base . Assim, escrevemos
Logo,
Com isso, caímos no sistema:
Resolvendo esse sistema, achamos
Portanto, temos que
Ou ainda,
Para achar , usamos
Portanto,
Passo 5
Por fim, vamos ao item (e). Agora, temos o vetor
Para escrevê-lo na base
Resolvendo o sistema, achamos
Portanto,
Para achar , usamos a expressão
Com isso, achamos