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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.1 - Ex. 17e

  1. Sejam u = 5 ,   - 1 ,   0 ,   3 ,   - 3 , v = - 1 ,   - 1 ,   7 ,   2 ,   0 e w = - 4 ,   2 ,   - 3 ,   - 5 ,   2 . Encontre os componentes de

(e) -2(3w+v)+(2u+w)

Passo 1

Quando queremos somar ou subtrair vetores precisamos somar ou subtrair cada componente com o corrrespondente do outro vetor, ou seja, x com x, y com y, z com z e assim por diante. Como esse vetor tem mais que três coordenadas vamos chama-las de x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 ,   x 5 .

Além disso, quando multiplicamos um vetor por um escalar precismos multiplicar cada componente desse vetor por esse escalar, nesse exercício temos:

3 w = 3 ⋅ 5 ,   - 1 ,   0 ,   3 ,   - 3

Multiplicando cada componente por 3:

3 w = 3 ⋅ 5 ,   3 ⋅ - 1 ,   3 ⋅ 0 ,   3 ⋅ 3 ,   3 ⋅ - 3

3 w = 1 5 ,   - 3 ,   0 ,   9 ,   - 9

Também temos:

2 u = 2 ⋅ 5 ,   - 1 ,   0 ,   3 ,   - 3

Multiplicando cada componente por 2:

2 u = 2 ⋅ 5 ,   2 ⋅ - 1 ,   2 ⋅ 0 ,   2 ⋅ 3 ,   2 ⋅ - 3

2 u = 1 0 ,   - 2 ,   0 ,   6 ,   - 6

Passo 2

Somando os termos entre o primeiro parênteses:

3 w + v = 1 5 ,   - 3 ,   0 ,   9 ,   - 9 + - 1 ,   - 1 ,   7 ,   2 ,   0

Somando cada componente com seu correspondente:

3 w + v = 1 5 - 1 ,   - 3 - 1 ,   0 + 7 ,   9 + 2 ,   - 9 + 0

3 w + v = 1 4 ,   - 4 ,   7 ,   11 ,   - 9

Agora somando os termos entre o segundo parênteses:

2 u + w = 10 ,   - 2 ,   0 ,   6 ,   - 6 + - 4 ,   2 ,   - 3 ,   - 5 ,   2

Somando cada termo:

2 u + w = 10 - 4 ,   - 2 + 2 ,   0 - 3 ,   6 - 5 ,   - 6 + 2

2 u + w = 6 ,   0 ,   - 3 ,   1 ,   - 4

Passo 3

Precisamos multiplicar o primeiro parênteses por - 2 :

- 2 ⋅ 3 w + v = - 2 ⋅ 1 4 ,   - 4 ,   7 ,   11 ,   - 9

Multiplicando todos os seus termos por - 2 :

- 2 ⋅ 3 w + v = - 2 ⋅ 1 4 ,   - 2 ⋅ - 4 ,   - 2 ⋅ 7 ,   - 2 ⋅ 11 ,   - 2 ⋅ - 9

- 2 ⋅ 3 w + v = - 2 8 ,   8 ,   - 14 ,   - 2 2 ,   18

Passo 4

Por fim, somando os dois termos:

- 2 ⋅ 3 w + v + 2 u + w = - 28 ,   8 ,   - 14 ,   - 22 ,   18 + 6 ,   0 ,   - 3 ,   1 ,   - 4

Somando cada termo:

- 2 ⋅ 3 w + v + 2 u + w = - 28 + 6 ,   8 + 0 ,   - 14 - 3 ,   - 22 + 1 ,   18 - 4

- 2 ⋅ 3 w + v + 2 u + w = - 2 2 ,   8 ,   - 1 7 ,   - 21 ,   14

E está pronto, a componente x 1 é:

x 1 = - 22

x 2 é:

x 2 = 8

x 3 é:

x 3 = - 17

x 4 é:

x 4 = - 21

e x 5 :

x 5 = 14

Resposta

- 2 ⋅ 3 w + v + 2 u + w = - 22 ,   8 ,   - 17 ,   - 21 ,   14

Onde:

x 1 = - 22

x 2 = 8

x 3 = - 17

x 4 = - 21

x 5 = 14

Ver Outros Exercícios desse livro

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Nos exercícios 1-2, desenhe um sistema de coordenadas (como na Figura 3.1.10) e marque, em cada parte, o ponto cujas coordenadas são dadas.(c) (-3,0,0)
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Nos exercícios 3-4, em cada parte esboce o vetor dado com o ponto na origem.(d) (0,0,-3)
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