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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 2

Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em u   =   ( u 1 ,   u 2 ) e   v =   ( v 1 ,   v 2 ) por u +   v =   u 1 +   v 1 + 1 ,   u 2 +   v 2 + 1 ,   a u =   ( a u 1 ,   a u 2 )

  1. Calcule u   +   v e a u , com u   =   ( 0 ,   4 ) , v   =   ( 1 ,   - 3 ) e a   =   2 .
  2. Mostre que 0 ,   0 ≠ 0 .
  3. Mostre que - 1 ,   - 1 = 0 .
  4. Mostre que vale o Axioma 5 fornecendo um par ordenado - u tal que u   +   ( - u )   =   0 , com u   =   ( u 1 ,   u 2 ) .
  5. Encontre dois axiomas de espaço vetorial que não sejam válidos.

Passo 1

  1. Vamos lá, primeiro vamos fazer a soma sendo   u   =   ( 0 ,   4 ) e v =   ( 1 ,   - 3 ) .

    u + v = 0 + 1 + 1 ,   4 - 3 + 1 = ( 2 ,   2 )

    É só lembrar que devemos somar termo a termo!

    Agora o produto a u , sendo a = 2 .

    a ⋅ u = 2 ⋅ 0 ,   2 ⋅ 4 = ( 0 ,   8 )

    Também devemos lembrar que no produto, devemos multiplicar nosso coeficiente todos os termos!

    Se prestarmos atenção em todos nossos dados é mel na chupeta fazer soma e produto!

    Passo 2

  2. Vamos lá, vamos fazer a soma do nosso par ordenado seja u =   ( 0 ,   0 ) e v =   ( 0 ,   0 ) substituindo os valores e somando temos:

    Vale comentar que, o enunciado apresenta uma regra especifica pra soma que é dada por:

    u +   v =   u 1 +   v 1 + 1 ,   u 2 +   v 2 + 1

    Então sempre que formos somar pares ordenados seguindo essa regra, nós devemos fazer a soma do par ordenado e no final somar + 1 , assim nossa soma fica:

    u + v = 0 + 0 + 1 ,   0 + 0 + 1 = 1 ,   1

    Logo:

    0,0 ≠ 1

    Passo 3

  3. Vamos lá, vamos fazer a soma.

    u + ( - 1 ,   - 1 ) = u 1 - 1 + 1 ,   u 2 - 1 + 1 = u 1 ,   u 2

    Logo:

    u + - 1 ,   - 1 = u + 0

    Assim temos que - 1 ,   - 1 = 0 .

    Passo 4

  4. Vamos lá, vamos considerar que - u = ( - u 1 - 2 ,   - u 2 - 2 ) fazendo a soma encontramos.

    u + ( - u ) = u 1 - u 1 - 2 + 1 ,   u 2 - u 2 - 2 + 1 = - 1 ,   - 1

    Como provamos no item anterior - 1 , - 1 = 0 Logo:

    u + ( - u ) = 0

    Assim o axioma 5 é válido.

    Passo 5

Vamos lá.

a + b ⋅ u = a ⋅ u + b ⋅ u

Para a = 1 , b = 1 e u = ( 1 ,   1 )

1 + 1 ⋅ u = ( 2,2 )

1 ⋅ u + 1 ⋅ u = 1 + 1 + 1 ,   1 + 1 + 1 = ( 3 ,   3 )

Como 2 ,   2 ≠ ( 3 ,   3 ) :

a + b ⋅ u ≠ a ⋅ u + b ⋅ u

Agora:

u + 0 ,   0 = u

u + 0 ,   0 = ( 1 + 0 + 1 ,   1 + 0 + 1 )

u + 0 ,   0 ≠ u

Ufa, finalmente terminamos!

Resposta

  1. u + v = 2 ,   2 , a ⋅ u = ( 0 ,   8 )
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