Enunciado

Sejam A a matriz dada no Exercício 8 e B a matriz

B = 5 i 1 - 4 i

Confirme que essas matrizes têm as propriedades anunciadas no Teorema 5.3.2

Passo 1

As matrizes que vamos trabalhar são:

A = 4 i 2 - 3 i 2 + 3 i 1

B = 5 i 1 - 4 i

  1. A - - = A
  2. ( A T ) - = A - T
  3. A B - = A - B -

Passo 2

  1. A - - = A
  2. Para provar isso, vamos aplicar duas vezes o conjugado sobre a matriz A:

    A - - = 4 i 2 - 3 i 2 + 3 i 1 - -

    Aplicando uma vez:

    A - - = - 4 i 2 + 3 i 2 - 3 i 1 -

    E aplicamos outra vez:

    A - - = 4 i 2 - 3 i 2 + 3 i 1

    Isso demonstra que A - - = A

    Passo 3

  3. ( A T ) - = A - T
  4. Vamos trabalhar os dois lados separadamente:

    LADO DIREITO:

    ( A T ) - = 4 i 2 - 3 i 2 + 3 i 1 T -

    Aplicamos a transposição:

    ( A T ) - = 4 i 2 + 3 i 2 - 3 i 1 -

    E agora aplicamos o conjugado:

    ( A T ) - = - 4 i 2 - 3 i 2 + 3 i 1

    LADO ESQUERDO

    A - T = 4 i 2 - 3 i 2 + 3 i 1 - T

    Vamos aplicar o conjugado:

    A - T = - 4 i 2 + 3 i 2 - 3 i 1 T

    E agora aplicamos a transposição:

    A - T = - 4 i 2 - 3 i 2 + 3 i 1

    Chegamos no mesmo resultado. Isso mostra que a afirmação ( A T ) - = A - T é verdadeira.

    Passo 4

  5. A B - = A - B -

Vamos trabalhar os dois lados separadamente:

LADO DIREITO:

A B - = 4 i 2 - 3 i 2 + 3 i 1 5 i 1 - 4 i -

Efetuamos a multiplicação das matrizes:

A B - = - 30 - 11 i - 14 + 6 i -

E aplicamos o conjugado:

A B - = - 30 + 11 i - 14 - 6 i

LADO ESQUERDO:

A - B - = 4 i 2 - 3 i 2 + 3 i 1 - ⋅ 5 i 1 - 4 i -

Então, aplicamos o conjugado em ambas as matrizes:

A - B - = - 4 i 2 + 3 i 2 - 3 i 1 ⋅ - 5 i 1 + 4 i

E agora efetuamos a multiplicação vetorial:

A - B - = - 30 + 11 i - 14 - 6 i

Observe que obtemos o mesmo resultado. Com o lado esquerdo é igual ao direito, A B - = A - B - , a afirmação é verdadeira.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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