Sejam A a matriz dada no Exercício 7 e B a matriz

B = 1 - i 2 i

Confirme que essas matrizes têm as propriedades anunciadas no Teorema 5.3.2

Passo 1

As matrizes que vamos trabalhar são:

A = - 5 i 4 2 - i 1 + 5 i

B = 1 - i 2 i

  1. A - - = A
  2. ( A T ) - = A - T
  3. A B - = A - B -

Passo 2

  1. A - - = A
  2. Para provar isso, vamos aplicar duas vezes o conjugado sobre a matriz A:

    A - - = - 5 i 4 2 - i 1 + 5 i - -

    Aplicando uma vez:

    A - - = 5 i 4 2 + i 1 - 5 i -

    E aplicamos outra vez:

    A - - = - 5 i 4 2 - i 1 + 5 i

    Isso demosntra que A - - = A

    Passo 3

  3. ( A T ) - = A - T
  4. Vamos trabalhar os dois lados separadamente:

    LADO DIREITO:

    ( A T ) - = - 5 i 4 2 - i 1 + 5 i T -

    Aplicamos a transposição:

    ( A T ) - = - 5 i 2 - i 4 1 + 5 i -

    E agora aplicamos o conjugado:

    ( A T ) - = 5 i 2 + i 4 1 - 5 i

    LADO ESQUERDO

    A - T = - 5 i 4 2 - i 1 + 5 i - T

    Vamos aplicar o conjugado:

    A - T = 5 i 4 2 + i 1 - 5 i T

    E agora aplicamos a transposição:

    A - T = 5 i 2 + i 4 1 - 5 i

    Chegamos no mesmo resultado. Isso mostra que a afirmação é verdadeira.

    Passo 4

  5. A B - = A - B -

Vamos trabalhar os dois lados separadamente:

LADO DIREITO:

A B - = - 5 i 4 2 - i 1 + 5 i 1 - i 2 i -

Efetuamos a multiplicação das matrizes:

A B - = - 5 i ⋅ 1 - i + 4 ⋅ 2 i 2 - i 1 - i + ( 1 + 5 i ) ( 2 i ) -

A B - = - 5 + 3 i - 9 - i -

E aplicamos o conjugado:

A B - = - 5 - 3 i - 9 + i

LADO ESQUERDO:

A - B - = - 5 i 4 2 - i 1 + 5 i - ⋅ 1 - i 2 i -

Então, aplicamos o conjugado em ambas as matrizes:

A - B - = 5 i 4 2 + i 15 i ⋅ 1 + i - 2 i

E agora efetuamos a multiplicação vetorial:

A - B - = - 5 - 3 i - 9 + i

Observe que obtemos o mesmo resultado. Com o lado esquerdo e dirieito chegam no mesmo resultado, a afirmação é verdadeira.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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