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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 3

Nos exercícios 3-4, mostre que u → , v → e a satisfazem o Teorema 5.3.1

u → = 3 - 4 i , 2 + i , - 6 i

v → = ( 1 + i , 2 - i , 4 )

a = i

Passo 1

O Teorema 5.3.1 faz quatro afirmações, então vamos prova-las uma a uma:

  1.   u →   ̿ = u →

    2. Vamos calcular o conjugado do conjugado:

      u →   ̿ =   3 - 4 i ,   2 + i ,   - 6 i   - -   u   - =   3 - 4 i - , 2 + i - ,   - 6 i -   -   u   - =   3 + 4 i , 2 - i , 6 i   -   u   - =   3 + 4 i - , 2 - i - ,   6 i -  

    Chagamos em:

      u →   ̿ = 3 - 4 i , 2 + i , - 6 i

    O que mostra que o conjugado do conjugado é o próprio vetor:

      u →   ̿ = u →

    Passo 2

  2. a ⋅ u → - = a - ⋅ u → -

    3. LADO ESQUERDO: a ⋅ u → -

    Primeiro vamos calcular o lado esquerdo:

    a ⋅ u → - = i ⋅ 3 - 4 i , 2 + i , - 6 i -

    Efetuamos a multiplicação por escalar:

    a ⋅ u → - = 3 i - 4 ( - 1 ) , 2 i + ( - 1 ) , - 6 ( - 1 ) -

    E efetuamos o conjugado:

    a ⋅ u → - = 3 i + 4 ,   2 i - 1 ,   6 -

    a ⋅ u → - = - 3 i + 4 ,   - 2 i - 1 ,   6

    a ⋅ u → - = 4 - 3 i ,   - 1 - 2 i ,   6

    LADO DIREITO: a - ⋅ u → -

    E agora vamos calcular o lado direito:

    a - ⋅ u → - = i - ⋅ 3 - 4 i , 2 + i , - 6 i -

    Efetuamos os conjugados

    a - ⋅ u → - = - i ⋅ 3 + 4 i , 2 - i , 6 i

    a - ⋅ u → - = - 3 i - 4 - 1 , - 2 i + - 1 , - 6 ( - 1 )

    a - ⋅ u → - = 4 - 3 i , - 1 - 2 i ,   6

    Como os resultados do lado esquerdo e direto são iguais, então a propriedade é verdadeira.

    Passo 3

  3. u → + v → - = u → - + v → -

LADO ESQUERDO:   u → + v → -

u → + v → - = 3 - 4 i , 2 + i , - 6 i + ( 1 + i , 2 - i , 4 ) -

Efetuamos a soma dos vetores:

u → + v → - = 4 - 3 i , 4 , 4 - 6 i -

E efetuamos o conjugado:

u → + v → - = ( 4 + 3 i ,   4 ,   4 + 6 i )

LADO ESQUERDO: u → - + v → -

u → - + v → - = 3 - 4 i , 2 + i , - 6 i - + ( 1 + i , 2 - i , 4 ) -

Efetuamos os conjugados:

u → - + v → - = ( 3 + 4 i , 2 - i ,   6 i ) + ( 1 - i , 2 + i , 4 )

E efetuamos a soma dos vetores:

u → - + v → - = ( 4 + 3 i , 4 ,   4 + 6 i )

Como os resultados do lado esquerdo e direto são iguais, então a propriedade é verdadeira.

Passo 2

  1. u → - v → - = u → - - v → -

LADO ESQUERDO:   u → - v → -

u → - v → - = 3 - 4 i , 2 + i , - 6 i - ( 1 + i , 2 - i , 4 ) -

Efetuamos a soma dos vetores:

u → - v → - = 2 - 5 i , 2 i , - 4 - 6 i -

E efetuamos o conjugado:

u → - v → - = 2 + 5 i , - 2 i , - 4 + 6 i

LADO ESQUERDO: u → - - v → -

u → - - v → - = 3 - 4 i , 2 + i , - 6 i - - ( 1 + i , 2 - i , 4 ) -

Efetuamos os conjugados:

u → - - v → - = 3 + 4 i , 2 - i ,   6 i - ( 1 - i , 2 + i , 4 )

E efetuamos a soma dos vetores:

u → - - v → - = 2 + 5 i , - 2 i , - 4 + 6 i

Como os resultados do lado esquerdo e direto são iguais, então a propriedade é verdadeira.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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