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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 18a

Sejam A e B matrizes mxp e pxn, respectivamente.

  1. Mostre que a j-ésima coluna do produto AB é igual ao produto A B j , em que B j = b 1 j ⋮ b p j é a j-ésima coluna de B, ou seja, se B =   B 1 … B n , então

A B = A B 1 … B n = A B 1 … A B n

Passo 1

Primeiramente, podemos usar a definição do produto matricial para realizar a multiplicação de uma matriz A, mxp, por uma matriz B, pxn.

A B =   a 11 b 1 1 + a 12 b 2 1 + … + a 1 p b p 1 a 11 b 12 + a 12 b 2 2 + … + a 1 p b p 2 … a 11 b 1 n + a 12 b 2 n + … + a 1 p b p n a 2 1 b 1 1 + a 2 2 b 2 1 + … + a 2 p b p 1 a 21 b 1 2 + a 22 b 2 2 + … + a 2 p b p 2 … a 21 b 1 n + a 22 b 2 n + … + a 2 p b p n a m 1 b 11 + a m 2 b 21 + … + a m p b p 1                                                 ⋮                                         … a m 1 b 12 + a m 2 b 22 + … + a m p b p 2 … ⋮ a m 1 b 1 n + a m 2 b 2 n + … + a m p b p n

Passo 2

Agora, sabendo que cada coluna de B pode ser escrita da forma B j =   b 1 j ⋮ b p j , ou seja:

B 1 =   b 11 ⋮ b p 1 ,

B 2 =   b 12 ⋮ b p 2 ,

Até

B n =   b 1 n ⋮ b p n ,

Compreendemos que B pode ser escrita de modo que B =   B 1 B 2 … B n .

Passo 3

Por fim, realizando a multiplicação da matriz A por cada coluna de B, obtemos:

A B 1 A B 2 … A B n

Mas sabemos que A B 1 é equivalente ao produto da matriz A pela matriz B 1 , ou seja:

A B 1 =   a 11 b 11 + a 12 b 21 + … + a 1 p b p 1 ⋮ a m 1 b 11 + a m 2 b 21 + … + a m p b p 1 .

Dessa forma, a matriz composta pelos produtos A B j , j = 1, 2, 3... n, é dada por:

a 11 b 11 + a 12 b 21 + … + a 1 p b p 1 a 11 b 12 + a 12 b 22 + … + a 1 p b p 2 … a 11 b 1 n + a 12 b 2 n + … + a 1 p b p n a 21 b 11 + a 22 b 21 + … + a 2 p b p 1 a 21 b 12 + a 22 b 22 + … + a 2 p b p 2 … a 21 b 1 n + a 22 b 2 n + … + a 2 p b p n a m 1 b 11 + a m 2 b 21 + … + a m p b p 1                                                 ⋮                                         … a m 1 b 12 + a m 2 b 22 + … + a m p b p 2 … ⋮ a m 1 b 1 n + a m 2 b 2 n + … + a m p b p n

A qual é a mesma matriz obtida pelo produto AB.

Resposta

A B = A B 1 … B n = A B 1 … A B n =   a 11 b 11 + a 12 b 21 + … + a 1 p b p 1 a 11 b 12 + a 12 b 22 + … + a 1 p b p 2 … a 11 b 1 n + a 12 b 2 n + … + a 1 p b p n a 21 b 11 + a 22 b 21 + … + a 2 p b p 1 a 21 b 12 + a 22 b 22 + … + a 2 p b p 2 … a 21 b 1 n + a 22 b 2 n + … + a 2 p b p n a m 1 b 11 + a m 2 b 21 + … + a m p b p 1                                                 ⋮                                         … a m 1 b 12 + a m 2 b 22 + … + a m p b p 2 … ⋮ a m 1 b 1 n + a m 2 b 2 n + … + a m p b p n

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