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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 16b

Sejam E 1 = 1 0 0 ⋮ 0 , E 2 = 0 1 0 ⋮ 0 , ..., E n = 0 0 ⋮ 0 1 matrizes nx1.

  1. Mostre que se

B =   b 11 b 12 b 21 b 22 ⋯ ⋯ b 1 m b 2 m     ⋮   ⋯ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n m

é uma matriz nxm, então E t i B é igual à linha i da matriz B.

Passo 1

Demonstrando por etapas, podemos analisar inicialmente uma matriz B, 2x1.

B = b 11 b 21

Multiplicando B pela transposta da matriz E 1 , 2x1:

E t 1 B   =   1 0 ∙ b 11 b 21

E t 1 B = b 11

Já multiplicando pela transposta de E 2 , 2x1:

E t 2 B   =   0 1 ∙ b 11 b 21

E t 2 B   = b 21

Passo 2

Analisando agora uma matriz B 2x2:

B =   b 11 b 12 b 21 b 22

Multiplicando pela transposta matriz E 1 , 2x1:

E t 1 B   =   1 0 ∙ b 11 b 12 b 21 b 22

E t 1 B = b 11 b 12

Já multiplicando pela transposta de E 2 , 2x1:

E t 2 B   =   0 1 ∙ b 11 b 12 b 21 b 22

E t 2 B   = b 2 1 b 2 2

Passo 3

Por fim, exemplificando com uma matriz maior, B, 3x4

B =   b 11 b 12 b 13 b 14 b 21 b 22 b 23 b 24 b 31 b 32 b 33 b 34

Multiplicando pela transposta de E 1 , 3x1:

E t 1 B =   1 0 0 ∙ b 11 b 12 b 13 b 14 b 21 b 22 b 23 b 24 b 31 b 32 b 33 b 34

E t 1 B =   b 11 b 12 b 13 b 14

Multiplicando pela transposta de E 2 , 3x1:

E t 2 B   =   0 1 0 ∙ b 11 b 12 b 13 b 14 b 21 b 22 b 23 b 24 b 31 b 32 b 33 b 34

E t 2 B   =   b 2 1 b 2 2 b 2 3 b 2 4

Multiplicando pela transposta de E 3 , 3x1:

E t 3 B =   0 0 1 ∙ b 11 b 12 b 13 b 14 b 21 b 22 b 23 b 24 b 31 b 32 b 33 b 34

E t 3 B =   b 3 1 b 3 2 b 3 3 b 3 4

Resposta

Generalizando:

E t i B = b i 1 b i 2 … b i m

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