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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.2 - Ex. 7

Resolva o sistema linear x - y + 2 z - w = - 1 2 x + y - 2 z - 2 w = - 2 - x + 2 y - 4 z + w = 1 3 x - 3 w = - 3 por eliminição de Gauss-Jordan.

Passo 1

Analisando o sistema x - y + 2 z - w = - 1 2 x + y - 2 z - 2 w = - 2 - x + 2 y - 4 z + w = 1 3 x - 3 w = - 3 temos que obter a matriz aumentada que é:

1 2 - 1 3 - 1 1 2 0 2 - 2 - 4 0 - 1 - 2 1 - 3 - 1 - 2 1 - 3  

Passo 2

A eliminição de Gauss-Jordan realiza operações entre linhas a fim de transformar a matriz dos coeficientes em uma matriz identidade.

Para essas operações, utilizaremos o rótulo   L para designar a linha e o operdor:

→ L   q u e   s e r á     a l t e r a d a → O p e r a ç ã o

a fim de dar fluidez ao exercício.

Passo 3

1 2 - 1 3 - 1 1 2 0 2 - 2 - 4 0 - 1 - 2 1 - 3 - 1 - 2 1 - 3 → L 2 → L 2 - 2 L 1 L 3 → L 3 + l 1 L 4 → L 4 - 3 L 1 1 0 0 0 - 1 3 1 3 2 - 6 - 2 - 6 - 1 0 0 0 - 1 0 0 0

1 0 0 0 - 1 3 1 3 2 - 6 - 2 - 6 - 1 0 0 0 - 1 0 0 0 → L 2 → 1 3 L 2 1 0 0 0 - 1 1 1 3 2 - 2 - 2 - 6 - 1 0 0 0 - 1 0 0 0

Passo 4

1 0 0 0 - 1 1 1 3 2 - 2 - 2 - 6 - 1 0 0 0 - 1 0 0 0 → L 1 → L 1 + L 2 L 3 → L 3 - L 2 L 4 → L 4 - 3 L 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 - 2 0 0 - 1 0 0 0 - 1 0 0 0

Passo 5

Agora, é transformar a matriz 1 0 0 0 0 1 0 0 0 - 2 0 0 - 1 0 0 0 - 1 0 0 0   num sistema linear. Logo, temos:

x - w = - 1 y - 2 z = 0

Transformando z e w em dois parâmetros z = t e w = u , temos

x = u - 1 y = 2 t

Resposta

A solução do sistema é x ,   y ,   z ,   w = u - 1 ,   2 t ,     t ,   u .

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