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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 2b

Sejam A = ([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) , B = ([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]]) , C = ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]]) , a = 4 e b = - 7 , mostre que A (B - C) = A B - A C

Passo 1

Esse problema aborda, de maneira não generalizada, a demonstração de algumas propriedades algébricas. Nesse caso, vamos mostrar que A (B - C) = A B - A C . Para isso, vamos resolver os dois lados da equação e comparar para ver se são, de fato, iguais.

Assim, montemos o primeiro lado:

([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) (([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]]) - ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]]))

E o segundo:

([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) ([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]]) - ([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]])

Passo 2

Resolvendo o primeiro lado, temos:

([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) (([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]]) - ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]]))

([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) ([[8,-,0,-,3,-,(,-,2,),-,5,-,3],[0,-,1,1,-,7,2,-,4],[4,-,3,-,7,-,5,6,-,9]])

([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) ([[8,-,1,-,8],[-,1,-,6,-,2],[1,-,12,-,3]])

([[2,xx,8,+,(- 1),(- 1),+,3,xx,1,2,(,-,1,),+,(- 1),(- 6),+,3,(,-,12,),2,(,-,8,),+,(- 1),(- 2),+,3,(,-,3,)],[0,xx,8,+,4,(- 1),+,5,xx,1,0,(,-,1,),+,4,(- 6),+,5,(,-,12,),0,(,-,8,),+,4,(- 2),+,5,(,-,3,)],[-,2,xx,8,+,1,(- 1),+,4,xx,1,-,2,(,-,1,),+,1,(- 6),+,4,(,-,12,),-,2,(,-,8,),+,1,(- 2),+,4,(,-,3,)]])

([[16,+,1,+,3,-,2,+,6,-,36,-,16,+,2,-,9],[0,-,4,+,5,0,-,24,-,60,0,-,8,-,15],[-,16,-,1,+,4,2,-,6,-,48,16,-,2,-,12]])

([[20,-,32,-,23],[1,-,84,-,12],[-,13,-,52,2]])

Passo 3

Resolvendo o segundo lado da equação:

([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) ([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]]) - ([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]])

O primeiro produto:

([[(2 xx 8),+,(- 1 xx 0),+,(3 xx 4),(2 xx (- 3)),+,(- 1 xx 1),+,(3 xx (- 7)),(2 xx ( - 5),+,(- 1 xx 2),+,(3 xx 6)],[(0 xx 8),+,(4 xx 0),+,(5 xx 4),(0 xx (- 3)),+,(4 xx 1),+,(5 xx (- 7)),(0 xx (- 5)),+,(4 xx 2),+,(5 xx 6)],[(- 2 xx 8),+,(1 xx 0),+,(4 xx 4),(- 2 xx (- 3)),+,(1 xx 1),+,(4 xx (- 7)),(- 2 xx ( - 5),+,(1 xx 2),+,(4 xx 6)]])

([[16,+,0,+,12,-,6,-,1,-,21,-,10,-,2,+,18],[0,+,0,+,20,0,+,4,-,35,0,+,8,+,30],[-,16,+,0,+,16,6,+,1,-,28,10,+,2,+,24]])

([[28,-,28,6],[20,-,31,38],[0,-,21,36]])

O segundo produto:

([[(2 xx 0),+,(- 1 xx 1),+,(3 xx 3),(2 xx (- 2)),+,(- 1 xx 7),+,(3 xx (5)),(2 xx ( 3),+,(- 1 xx 4),+,(3 xx 3)],[(0 xx 0),+,(4 xx 1),+,(5 xx 3),(0 xx (- 2)),+,(4 xx 7),+,(5 xx (5)),(0 xx (3)),+,(4 xx 4),+,(5 xx 4)],[(- 2 xx 0),+,(1 xx 1),+,(4 xx 3),(- 2 xx (- 2)),+,(1 xx 7),+,(4 xx (5)),(- 2 xx ( 3),+,(1 xx 4),+,(4 xx 9)]])

([[0,-,1,+,9,-,4,-,7,+,15,6,-,4,+,9],[0,+,4,+,15,0,+,28,+,25,0,+,16,+,20],[0,+,1,+,12,4,+,7,+,20,-,6,+,4,+,36]])

([[8,4,11],[19,53,36],[13,31,34]])

Realizando a diferença:

([[28,-,28,6],[20,-,31,38],[0,-,21,36]]) - ([[8,4,11],[19,53,36],[13,31,34]])

([[28,-,8,-,28,-,4,6,-,11],[20,-,19,-,31,-,53,38,-,36],[0,-,13,-,21,-,31,36,-,34]])

([[20,-,32,-,23],[1,-,84,-,12],[-,13,-,52,2]])

Resposta

Ambos os lados são iguais. Logo, está demonstrado que A (B - C) = A B - A C

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