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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.Exercícios Suplementares - Ex. 1

A matriz 3 2 - 1 0 0 3 4 3 1 - 1 representa uma matriz aumentada de um sistema linear. Escreva o conjunto de equações lineares correspondentes do sistema e use eliminação gaussiana pra resolver o sistema linear. Introduza parâmetros livres se necessário.

Passo 1

O enunciado já determinou qual método para resolução do sistema vamos utilizar. Como o sistema 3 2 - 1 0 0 3 4 3 1 - 1 representa uma matriz aumentada, temos que seu sistema de equações é:

3 x 1 - 1 x 2 + 0 x 3 + 4 x 4 = 1 2 x 1 + 0 x 2 + 3 x 3 + 3 x 4 = - 1

3 x 1 - x 2 + 4 x 4 = 1 2 x 1 + 3 x 3 + 3 x 4 = - 1

Vamos descrevê-lo assim para sabermos quais variáveis estamos utilizando e quais podemos usar de parâmetro.

Passo 2

Para resolvermos esse sistema, vamos voltar à sua matriz ampliada e utilizar da eliminação gaussiana

3 2 - 1 0 0 3 4 3 1 - 1     → L 1 → 1 3 L 1       1 2 - 1 / 3 0 0 3 4 / 3 3 1 / 3 - 1

1 2 - 1 / 3 0 0 3 4 / 3 3 1 / 3 - 1 → L 2 → L 2 - 2 L 1 1 0 - 1 / 3 2 / 3 0 3 4 / 3 1 / 3   1 / 3 - 5 / 3

1 0 - 1 / 3 2 / 3 0 3 4 / 3 1 / 3   1 / 3 - 5 / 3 → L 2 → 3 2 L 2 1 0 - 1 / 3 1 0 9 / 2 4 / 3 1 / 2   1 / 3 - 5 / 2

Passo 3

Vamos reescrever a matriz 1 0 - 1 / 3 1 0 9 / 2 4 / 3 1 / 2   1 / 3 - 5 / 2 como um sistema linear

1 x 1 - 1 3 x 2 + 0 x 3 + 4 3 x 4 = 1 3 0 x 1 + 1 x 2 + 9 2 x 3 + 1 2 x 4 = - 5 2

x 1 - 1 3 x 2 + 4 3 x 4 = 1 3 x 2 + 9 2 x 3 + 1 2 x 4 = - 5 2

Quando olhamos o sistema resultante da matriz escalonada, vemos que são duas equações e quatro incógnitas. Portanto, para chegarmos a uma solução, vamos escolher uma incógnita e dar um parâmetro a ela (parametrização).

Nesse caso, vamos escolher as incógnitas x 3 e x 4 e parametrizar:

x 3 = s ; x 4 = t

Passo 4

Após a parametrização, vamos substituir no sistema de equações e isolar as incógnitas x 1 e x 2 .

(vamos escolher, preferencialmente, as incógnitas que estão multiplicadas pelo coeficiente 1 para serem isoladas)

x 1 - 1 3 x 2 + 4 3 t = 1 3 x 2 + 9 2 s + 1 2 t = - 5 2

Isolando x 2 :

x 2 = - 9 2 s - 1 2 t - 5 2

Isolando x 1 :

x 1 = 1 3 + 1 3 x 2 - 4 3 t

Substituindo x 2 em x 1 :

x 1 = 1 3 + 1 3 - 9 2 s - 1 2 t - 5 2 - 4 3 t

x 1 = 1 3 - 3 2 s - 1 6 t - 5 6 - 4 3 t

x 1 = 1 3 - 5 6 + t - 1 6 - 4 3 - 3 2 s

x 1 = 2 6 - 5 6 + t - 1 6 - 8 6 - 3 2 s

x 1 = - 1 2 - 3 2 t - 3 2 s

Resposta

Portanto, a solução é dada por: x 1 = - 1 2 - 3 2 t - 3 2 s x 2 = - 9 2 s - 1 2 t - 5 2

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