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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.3 - Ex. 15

Sejam T 1 : P 2 → P 3 e T 2 : P 3 → P 3 os operadores lineares dados pelas fórmulas

T 1 p x = x p ( x )     e       T 2 p x = p x + 1

  1. Encontre fórmulas para

    2. T 1 - 1 x ,   y ,     T 2 - 1 x ,   y ,     T 2 ∘ T 1 - 1 ( x ,   y )

  2. Verifique que T 2 ∘ T 1 - 1 = T 1 - 1 ∘ T 2 - 1 .

Passo 1

Na letra (a), para descobrirmos a inversa de cada operador linear, precisamos analisar qual operação ele está realizando, por exemplo para T 1 p x = x p ( x ) , vemos que operador realiza uma multiplicação do polinômio p ( x ) , por um fator x , isso quer dizer que a inversa deve desfazer esse produto, logo ela deve dividir o polinômio por um fator x

T 1 - 1 p x = 1 x p x

Para T 2 p x = p x + 1 , temos o mesmo raciocínio, como somamos + 1 ao termo x , na inversa devemos subtrair esse mesmo valor, logo

T 2 - 1 p x = p x - 1

E para a composição T 2 ∘ T 1 , temos que

T 2 ∘ T 1 = x p ( x + 1 )

Portanto, a inversa desfaz essas duas operações ao mesmo tempo

T 2 ∘ T 1 - 1 = 1 x p x - 1

Passo 2

Como temos T 1 - 1 e T 2 - 1 , podemos fazer a composição T 1 - 1 ∘ T 2 - 1 e verificar a igualdade T 2 ∘ T 1 - 1 = T 1 - 1 ∘ T 2 - 1

T 1 - 1 p x = 1 x p x           e             T 2 - 1 p x = p x - 1

Logo

T 1 - 1 ∘ T 2 - 1 = T 1 - 1 T 2 - 1 p x = T 1 - 1 p x - 1 = 1 x p x - 1

T 2 ∘ T 1 - 1 = 1 x p x - 1 = T 1 - 1 ∘ T 2 - 1

T 2 ∘ T 1 - 1 = T 1 - 1 ∘ T 2 - 1

Resposta

  1. T 1 - 1 p x = 1 x p x , T 2 - 1 p x = p x - 1 e T 2 ∘ T 1 - 1 = 1 x p x - 1 .
  2. Demonstração.
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T 1 : R 2 → R 2 é a reflexão no eixo x e T 2 : R 2 → R 2 é a reflexão no eixo y . T 1 : R 2 → R 2 é a projeção ortogonal no eixo x e T 2 : R 2 → R 2 é a rotação anti-horária pelo ângulo θ . T 1 : R 3
Sejam T : R 2 → R 2 o operador linear dado pela fórmula T x ,y = ( x + k y ,- y ) . Mostre que T é injetor e que T - 1 = T , qualquer que seja o valor real de k .
Prove: se T : V → W for uma transformação linear injetora, então T - 1 : I m T → V é uma transformação linear injetora.
Seja T : R n → R n o operador linear definido pela fórmula T x 1 ,x 2 ,... ,x n = a 1 x 1 ,a 2 x 2 ,... ,a n x n Em que a 1 ,a 2 ,... ,a n são constantes.Sob quais condições T terá uma inversa?Supondo