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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.3 - Ex. 18

Sejam T : R 2 → R 2 o operador linear dado pela fórmula T x ,   y = ( x + k y ,   - y ) . Mostre que T é injetor e que T - 1 = T , qualquer que seja o valor real de k .

Passo 1

A forma matricial de T x ,   y = ( x + k y ,   - y ) é

A = 1 k 0 - 1

E as duas colunas da matriz são linearmente independentes, logo p o s A = 2 , e pelo teorema do núcleo e imagem, temos que

p o s A + n u l A = n ⇒ 2 + n u l A = 2

n u l A = 0

Como n u l A = 0 , a transformação é injetora.

Passo 2

E pra calcular a inversa, podemos usar o algoritmo do escalonamento

A = 1 k 0 - 1 ⇒ 1 k 0 - 1 1 0 0 1 ⇒ L 1 = L 1 + k L 2   = 1 0 0 - 1 1 k 0 1 ⇒

⇒   L 2 = - L 2 = 1 0 0 1 1 k 0 - 1

A - 1 = 1 k 0 - 1 = A

Resposta

Demonstração.

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