Seja T : R n → R n o operador linear definido pela fórmula T x 1 ,x 2 ,... ,x n = a 1 x 1 ,a 2 x 2 ,... ,a n x n Em que a 1 ,a 2 ,... ,a n são constantes.Sob quais condições T terá uma inversa?Supondo que as condições determinadas na parte (a) estejam satisfeitas, encontre uma fórmula para T - 1 x 1 ,x 2 ,... ,x n .

a i ≠ 0c o mi = 1 ,2 ,3 , … ,n T - 1 x 1 ,x 2 ,... ,x n = 1 a 1 x 1 ,1 a 2 x 2 ,... ,1 a n x n

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.3 - Ex. 13

Seja o operador linear definido pela fórmula

Em que são constantes.

Sob quais condições terá uma inversa?

Supondo que as condições determinadas na parte (a) estejam satisfeitas, encontre uma fórmula para

Passo 1

Show de bola então, pra saber se a transformação possui inversa ou não, basta a gente saber se a matriz que representa essa transformação é quadrada e se , ou seja, se a dimensão do núcleo for , nossa transformação é invertível. Como a transformação é dada por , a matriz vai ser quadrada e .

Passo 2

Como a transformação é dada por , a matriz vai ser quadrada e . Então só precisamos ver se . Sabemos que se , então

Se, e somente se, . Ou seja, pra dimensão do núcleo ser , não podemos ter solução diferente da trivial pro sistema. Logo pra isso acontecer nenhuma das constantes podem ser , pois se isso acontecer, vamos ter soluções diferentes da trivial para o problema. Então a condição para ter uma inversa é que

Passo 3

Então pra descobrirmos a fórmula pra precisamos encontrar uma transformação tal que

Logo, nossa inversa precisa pegar o termo e transformar ele em , então só precisamos dividir o termo por . Portanto a transformação é

E como nossa condição de existência de uma inversa é que , isso quer dizer que nenhum termo vai ser , então a divisão vai existir.

Resposta

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Sejam T A : R 3 → R 3 , T B : R 3 → R 3 e T C : R 3 → R 3 as reflexões nos planos x y ,x zey z , respectivamente. Verifique a Fórmula (8) com esses operadores.

Em cada parte, seja T : R 3 → R 3 a multiplicação por A . Determine se T tem uma inversa; se tiver, encontre. T - 1 x 1 x 2 x 3 A = 1 5 2 1 2 1 - 1 1 0 A = 1 4 - 1 1 2 1 - 1 1 0 A = 1 0 1 1 1 1 1 1 0

Sejam A e B matrizes semelhantes. Prove: A T e B T são semelhantes.Se A e B forem invertíveis, então A - 1 e B - 1 são semelhantes.

(Requer Cálculo) O teorema fundamental do Cálculo implica que a integração e a derivação são ações que se cancelam mutuamente. Defina a transformação D : P n → P n - 1 por D p x = p ' x e defina J : P