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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.3 - Ex. 13

Seja T : R n → R n o operador linear definido pela fórmula

T x 1 ,   x 2 ,   .   .   . ,   x n = a 1 x 1 ,   a 2 x 2 ,   .   .   . ,   a n x n  

Em que a 1 ,   a 2 ,   .   .   . ,   a n são constantes.

  1. Sob quais condições T terá uma inversa?
  2. Supondo que as condições determinadas na parte (a) estejam satisfeitas, encontre uma fórmula para T - 1 x 1 ,   x 2 ,   .   .   . ,   x n .

Passo 1

Show de bola então, pra saber se a transformação possui inversa ou não, basta a gente saber se a matriz que representa essa transformação é quadrada e se n u l T = 0 , ou seja, se a dimensão do núcleo for 0 , nossa transformação é invertível. Como a transformação é dada por T : R n → R n , a matriz vai ser quadrada e n × n .

Passo 2

Como a transformação é dada por T : R n → R n , a matriz vai ser quadrada e n × n . Então só precisamos ver se n u l T = 0 . Sabemos que se n u l T = 0 , então

T x 1 ,   x 2 ,   .   .   . ,   x n = 0 ,   0 ,   .   .   . ,   0  

Se, e somente se, x 1 = x 2 = ⋯ = x n = 0 . Ou seja, pra dimensão do núcleo ser 0 , não podemos ter solução diferente da trivial pro sistema. Logo pra isso acontecer nenhuma das constantes a i podem ser 0 , pois se isso acontecer, vamos ter soluções diferentes da trivial para o problema. Então a condição para T ter uma inversa é que

a i ≠ 0   c o m   i = 1 ,   2 ,   3 , … ,   n

Passo 3

Então pra descobrirmos a fórmula pra T - 1 precisamos encontrar uma transformação tal que

T - 1 a 1 x 1 ,   a 2 x 2 ,   .   .   . ,   a n x n = x 1 ,   x 2 ,   .   .   . ,   x n

Logo, nossa inversa precisa pegar o termo a i x i e transformar ele em x i , então só precisamos dividir o termo a i x i por a i . Portanto a transformação é

T - 1 x 1 ,   x 2 ,   .   .   . ,   x n = 1 a 1 x 1 ,   1 a 2 x 2 ,   .   .   . ,   1 a n x n

E como nossa condição de existência de uma inversa é que a i ≠ 0   c o m   i = 1 ,   2 ,   3 , … ,   n , isso quer dizer que nenhum termo vai ser 0 , então a divisão 1 a i vai existir.

Resposta

  1. a i ≠ 0   c o m   i = 1 ,   2 ,   3 , … ,   n
  2. T - 1 x 1 ,   x 2 ,   .   .   . ,   x n = 1 a 1 x 1 ,   1 a 2 x 2 ,   .   .   . ,   1 a n x n
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