Sejam U = u 1 , u 2 , u 3 ,   V = ( v 1 , v 2 , v 3 ) e W = w 1 , w 2 , w 3 . Prove a fórmula seguinte para o produto vetorial duplo

U   x   V   x   W = U . W V - U . V W

(b)Prove usando o item anterior e as propriedades do produto vetorial que

U   x   V   x   i → = U . i → V - U . V i →

U   x   V   x   j → = U . j → V - U . V j →

U   x   V   x   k → = U . k → V - U . V k →

Passo 1

Fala ae, galera! Tudo bem? 😊

Para resolver essa questão precisamos definir quem são os vetores U e V :

U = ( u 1 , u 2 , u 3 )

V = ( v 1 , v 2 , v 3 )

Passo 2

Resolvendo o produto vetorial V   x   i → :

V   x   i → = d e t v 1 v 2 v 3 1 0 0 i → j → k → = v 3 j → - v 2 k →

Agora, temos que:

U   x   V   x   i → = d e t u 1 u 2 u 3 0 v 3 - v 2 i → j → k → = u 1 v 3 k → - u 2 v 2 i → - u 3 v 3 i → + u 1 v 2 j →

U   x   V   x   i → = - u 2 v 2 + u 3 v 3 i → + u 1 v 2 j → + u 1 v 3 k →

Passo 3

Para o mesmo U e V , vamos analisar:

U . i → V - U . V i →

Resolvendo o produto interno:

U . i → V - U . V i → = u 1 , u 2 , u 3 . 1,0 , 0 v 1 , v 2 , v 3 - [ u 1 , u 2 , u 3 v 1 , v 2 , v 3 ] ( 1,0 , 0 )

U . i → V - U . V i → = u 1 v 1 , v 2 , v 3 - u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 1,0 , 0

U . i → V - U . V i → = - u 2 v 2 - u 3 v 3 , u 1 v 2 , u 1 v 3

Portanto:

U   x   V   x   i → = U . i → V - U . V i →

- u 2 v 2 + u 3 v 3 i → + u 1 v 2 j → + u 1 v 3 k → = - u 2 v 2 - u 3 v 3 , u 1 v 2 , u 1 v 3

Passo 4

Analogamente:

U   x   V   x   j → = U . j → V - U . V j → = u 2 v 1 i → - u 3 v 3 + u 1 v 1 j → + v 3 u 2 k →

U   x   V   x   k → = U . k → V - U . V k → = u 3 v 1 i → + u 3 v 2 j → - u 1 v 1 + v 2 u 2 k →

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o .

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