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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 39b

Sejam U = u 1 , u 2 , u 3 ,   V = ( v 1 , v 2 , v 3 ) e W = w 1 , w 2 , w 3 . Prove a fórmula seguinte para o produto vetorial duplo

U   x   V   x   W = U . W V - U . V W

(b)Prove usando o item anterior e as propriedades do produto vetorial que

U   x   V   x   i → = U . i → V - U . V i →

U   x   V   x   j → = U . j → V - U . V j →

U   x   V   x   k → = U . k → V - U . V k →

Passo 1

Fala ae, galera! Tudo bem? 😊

Para resolver essa questão precisamos definir quem são os vetores U e V :

U = ( u 1 , u 2 , u 3 )

V = ( v 1 , v 2 , v 3 )

Passo 2

Resolvendo o produto vetorial V   x   i → :

V   x   i → = d e t v 1 v 2 v 3 1 0 0 i → j → k → = v 3 j → - v 2 k →

Agora, temos que:

U   x   V   x   i → = d e t u 1 u 2 u 3 0 v 3 - v 2 i → j → k → = u 1 v 3 k → - u 2 v 2 i → - u 3 v 3 i → + u 1 v 2 j →

U   x   V   x   i → = - u 2 v 2 + u 3 v 3 i → + u 1 v 2 j → + u 1 v 3 k →

Passo 3

Para o mesmo U e V , vamos analisar:

U . i → V - U . V i →

Resolvendo o produto interno:

U . i → V - U . V i → = u 1 , u 2 , u 3 . 1,0 , 0 v 1 , v 2 , v 3 - [ u 1 , u 2 , u 3 v 1 , v 2 , v 3 ] ( 1,0 , 0 )

U . i → V - U . V i → = u 1 v 1 , v 2 , v 3 - u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 1,0 , 0

U . i → V - U . V i → = - u 2 v 2 - u 3 v 3 , u 1 v 2 , u 1 v 3

Portanto:

U   x   V   x   i → = U . i → V - U . V i →

- u 2 v 2 + u 3 v 3 i → + u 1 v 2 j → + u 1 v 3 k → = - u 2 v 2 - u 3 v 3 , u 1 v 2 , u 1 v 3

Passo 4

Analogamente:

U   x   V   x   j → = U . j → V - U . V j → = u 2 v 1 i → - u 3 v 3 + u 1 v 1 j → + v 3 u 2 k →

U   x   V   x   k → = U . k → V - U . V k → = u 3 v 1 i → + u 3 v 2 j → - u 1 v 1 + v 2 u 2 k →

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o .

Exercícios de Livros Relacionados

O triângulo A B C tem área 4 . Sabendo que B = A + u → e C = A + v → , calcule u → ∧ v → .
A medida angular entre u → e v → é 30 ° , e suas normas, 2 e 3 . Calcule u → ∧ v → .
Sabendo que u → = 1 e v → = 7 e a n gu → ,v → = π / 6 , calcule u → ∧ v → e 4 u → ∧ 9 v → .
Demonstre e interprete geometricamente as relações:a) u → ∧ v → ≤ u → v → b) u → ∧ v → = u → v → ⇔ u → ⊥ v →
A medida angular entre os vetores a → e b → é 60 ° , e suas normar são, respectivamente, 1 e 2 . Sendo u → = a → + b → e v → = a → - b → , calcule a norma de u → ∧ v → .