Demonstre e interprete geometricamente as relações:

a) u → ∧ v → ≤ u → v →

b) u → ∧ v → = u → v → ⇔ u → ⊥ v →

Passo 1

O exercício pede para demostrarmos duas relações. A primeira é muito simples...

Sabemos que

u → ∧ v → = u → v →   s e n   θ

Como 0 ° ≤ θ ≤ 180 ° , sabemos que 0 ≤ s e n   θ ≤ 1 . Portanto,

u → v →   s e n   θ ≤ u → v →

Assim, provamos que

u → ∧ v → ≤ u → v →

Passo 2

Já para provar a segunda, temos que

u → ∧ v → = u → v → ⟺ s e n   θ = 1 ⟺ θ = 90 ° ⟺ u → ⊥ v →

Isso significa que a norma do produto vetorial é igual ao produto das normas se os vetores forem perpendiculares! Se eles não forem, então a norma do produto vetorial será menor.

Resposta

Demonstração.

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