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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 39a

Sejam U = u 1 , u 2 , u 3 ,   V = ( v 1 , v 2 , v 3 ) e W = w 1 , w 2 , w 3 . Prove a fórmula seguinte para o produto vetorial duplo

U   x   V   x   W = U . W V - U . V W

(a)Prove que

U   x   i →   x   j → = U . j → i → - U . i → j →

U   x   j →   x   k → = U . k → j → - U . j → k →

U   x   k →   x   i → = U . i → k → - U . k → i →

Passo 1

Fala ae, galera! Tudo bem? 😊

Para resolver essa questão precisamos lembrar que:

i →   x   j → = k →

j →   x   k → = i →

k →   x   i → = j →

Passo 2

Seja U = ( a , b , c ) um vetor qualquer.

U   x   i →   x   j → = U   x   k →

U   x   k → = d e t u 1 u 2 u 3 0 0 1 i → j → k → = u 2 i → - u 1 j →

Como:

U . j → i → = u 2 i →   e   U . i → j → = u 1 j →

Temos que:

U   x   i →   x   j → = U . j → i → - U . i → j →

Passo 3

Analogamente: U   x   j →   x   k → = U . k → j → - U . j → k →

U   x   i → = u 3 j → - u 2 k →

e

U   x   k →   x   i → = U . i → k → - U . k → i →

U   x   j → = u 1 k → - u 3 i →

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o .

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Calcule 2 u → - 3 v → + w → ∧ - 6 u → + 3 v → - 3 w → .
Prove que, qualquer que seja o vetor v → , v → ∧ i → 2 + v → ∧ j → 2 + v → ∧ k → 2 = 2 v → 2 .
Determine x → tal que x → ∧ i → + k → = 2( i → + j → - k → ) e x → = 6 .
Sendo i → ,j → ,k → uma base ortonormal psotiva, calcule 2 k → - i → + 5 j → ∧ 3 i → - 2 k → + j → .
Os vetores a → e b → são unitários e a n ga → ,b → = 30 ° . O vetor c → , ortogonal a ambos, tem norma 2 , e a base a → ,b → ,c → é positiva. Sendo u → um vetor tal que u → ⋅ a → = 2 , u → ⋅ b → = 1 e