Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.2 - Ex. 20b
b) Sejam e soluções do sistema AX = B. Mostre que se α + β é solução, para quaisquer escalares α e β, então B = 0.
Passo 1
Dado que α + β é uma solução para o sistema, podemos escrever como:
A(α + β) = B
Pela distributiva:
A(α + β) = A(α) + A(β) = B
Pelas propriedades matriciais, isso pode ser reescrito como:
α (A) + β (A) = B
Passo 2
Sabendo que e são soluções do sistema, então, temos que:
E
Assim, pode-se dizer que:
α (A) + β (A) = αB + βB
Passo 3
Como temos as seguintes igualdades:
α (A) + β (A) = B
E
α (A) + β (A) = αB + βB
Sabemos que:
B = αB + βB
Ou seja:
B = B(α+β)
No entanto, para que essa igualdade seja válida para quaisquer valores de α e β, a única possibilidade é que B = 0.
Resposta
B = B(α+β), para α e β somente se B = 0.
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