Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.2 - Ex. 18
Mostre que toda operação elementar possui inversa, do mesmo tipo, ou seja, para cada operação elementar existe uma outra operação elementar do mesmo tipo que desfaz o que a operação anterior fez.
Passo 1
Sabemos que as operações elementares são:
- Permutar duas linhas de uma matriz;
- Multiplicar uma linha da matriz por um escalar não nulo;
- Somar uma linha da matriz a outra linha multiplicada por um escalar não nulo.
Passo 2
Assim, podemos determinar operação inversas a essas operações elementares, ou seja, que desfazem o que elas modificam:
- Permutar novamente as duas linhas:
Seja uma matriz A
A operação elementar de permutação de duas linhas poderia ser realizada, :
Para “desfazer” a troca, basta aplicar :
- Multiplicar a linha da matriz pelo inverso do escalar ():
Dada a matriz A
A operação elementar de soma uma linha da matriz a outra linha multiplicada por um escalar não nulo poderia ser realizada, :
Para “desfazer” a troca, basta aplicar :
- Somar uma linha da matriz a outra multiplicada pelo escalar negativo (-):
A operação elementar de multiplicação de uma linha por um escalar poderia ser realizada, :
Para “desfazer” a troca, basta aplicar :
Resposta
Todas as operações elementares possuem operações inversas a elas:
Permutar novamente as duas linhas;
Multiplicar a linha da matriz pelo inverso do escalar ();
Somar uma linha da matriz a outra multiplicada pelo escalar negativo (-).