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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 6c

Determine todos os valores de λ para os quais det(A-   λ I n ) = 0, em que

c) A = 2 - 2 3 0 3 - 2 0 - 1 2

Passo 1

Assim como nas alternativas (a) e (b), a questão nos fala que temos uma matriz identidade I n multiplicada por λ e subtraída de A. Como A é uma matriz 3x3, para podermos realizar a subtração, I também tem que ser 3x3. Então:

I n = I 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Passo 2

Realizando agora a multiplicação por λ :

λ I 3 = λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

Subtraindo isso da matriz A:

A-   λ I 3 = 2 - 2 3 0 3 - 2 0 - 1 2 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ = 2 - λ - 2 3 0 3 - λ - 2 0 - 1 2 - λ

Passo 3

Calculando o determinante dessa matriz que a gente achou:

det ⁡ 2 - λ - 2 3 0 3 - λ - 2 0 - 1 2 - λ =

2 - λ ∙ 3 - λ ∙ 2 - λ + ( - 2 ) ∙ ( - 2 ) ∙ 0 + 0 ∙ - 1 ∙ 3 - 3 ∙ 3 - λ ∙ 0 - ( - 2 ) ∙ 0 ∙ - 2 - λ - 2 - λ ∙ ( - 2 ) ∙ ( - 1 ) =

2 - λ ∙ 3 - λ ∙ 2 - λ + 0 + 0 - 0 - 0 - 2 - λ ∙ ( - 2 ) ∙ ( - 1 ) =

2 - λ ∙ 3 - λ ∙ 2 - λ - 4 + 2 λ =   - λ 3 + 7 λ 2 - 14 λ + 8

Como queremos que det(A-   λ I n ) = 0, vamos igualar o resultado obtido a 0:

- λ 3 + 7 λ 2 - 14 λ + 8 = 0

2 - λ λ 2 - 5 λ + 4 = 0

Dessa forma:

2 - λ = 0

λ = 2

λ 2 - 5 λ + 4 = 0

λ = 1

λ = 4

Resposta

λ = 1

λ = 2

λ = 4

Exercícios de Livros Relacionados

Determine todos os valores de λ para os quais det(A-λ I n ) = 0, em que A = 0 1 2 0 0 3 0 0 0
Determine os valores de λ reais tais que existe X = x 1 ⋮ x n ≠ 0 que satisfaz A X = λ X .c) A = 1 2 3 4 0 - 1 3 2 0 0 0 0 3 0 3 2
Determine os valores de λ reais tais que existe X = x 1 ⋮ x n ≠ 0 que satisfaz A X = λ X .d) A = 2 2 3 4 0 2 3 2 0 0 0 0 1 0 1 1
Determine os valores de λ reais tais que existe X = x 1 ⋮ x n ≠ 0 que satisfaz A X = λ X .b) A = 2 3 0 0 1 0 0 0 2