Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.2 - Ex. 20a
- Sejam e soluções do sistema homogêneo AX = 0. Mostre que α + β é solução, para quaisquer escalares α e β.
Passo 1
Se e são soluções do sistema, então, temos que:
E
Passo 2
Multiplicando cada produto pelo respectivo escalar relacionado:
E
Reorganizando:
Como sabemos que e , podemos substituir de forma que:
Que são igualdades verdadeiras para quaisquer escalares α e β.
Passo 3
Como vimos que α e β são soluções do sistema, e sabendo que a soma das soluções de um sistema também é uma solução desse sistema, podemos inferir que:
A(α + β) = 0
Para quaisquer escalares α e β.
Resposta
Demonstração ao longo dos passos da resolução.
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Prove que:Toda matriz é equivalente por linhas a ela mesma (reflexividade).
Considere a matriz A = 1 1 11 1 3 - 2 a 2 3 2 a - 2 a + 2 - a - 2 3 a - 1 - 32 a + 1 . Determine o conjunto solução do sistema AX = B, em que B = 4 3 1 6 t , para todos os valores de a.
Prove que:b) Se A é equivalente por linhas a B, então B é equivalente por linhas a A (simetria).
Sejam A uma matriz mxn e B ≠ 0 uma matriz mx1. Mostre que se X 1 é uma solução do sistema AX = B e Y 1 é uma solução do sistema homogêneo associado AX = 0, então X 1 + Y 1 é solução de AX = B.
Sejam A uma matriz mxn e B ≠ 0 uma matriz mx1. b) Seja solução particular do sistema AX = B. Mostre que toda solução X do sistema AX = B pode ser escrita como X = X 0 + Y, em que Y é uma solução do si