1. Sejam X 1   e X 2 soluções do sistema homogêneo AX = 0. Mostre que α X 1 + β X 2 é solução, para quaisquer escalares α e β.

Passo 1

Se X 1 e X 2 são soluções do sistema, então, temos que:

A X 1 = 0

E

A X 2 = 0

Passo 2

Multiplicando cada produto pelo respectivo escalar relacionado:

A α X 1 = 0

E

A β X 2 = 0

Reorganizando:

α ( A X 1 ) = 0

β ( A X 2 ) = 0

Como sabemos que A X 1 = 0 e A X 2 = 0 , podemos substituir de forma que:

α ( 0 ) = 0

β ( 0 ) = 0

Que são igualdades verdadeiras para quaisquer escalares α e β.

Passo 3

Como vimos que α X 1 e β X 2 são soluções do sistema, e sabendo que a soma das soluções de um sistema também é uma solução desse sistema, podemos inferir que:

A(α X 1 + β X 2 ) = 0

Para quaisquer escalares α e β.

Resposta

Demonstração ao longo dos passos da resolução.

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