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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 6.2 - Ex. 21

Sejam u e v vetores de um espaço vetorial euclidiano. Prove que u , v = 0 se, e somente, se u + α v ≥ u ,   ∀ α ∈   R .

Passo 1

Vamos lá! Primeiro guarda essa informação pois vamos utilizá-la:

u + α v 2 = u + α v . u + α v = u 2 + 2 α u . v + α 2 v 2

Beleza?

Vamos mostrar a ida primeiro da implicação do enunciado:

Partindo de u , v = 0 ,   temos que

u + α v ≥ u

De fato, temos

u + α v 2 = u 2 + α 2 v 2 ≥ u 2

Pois α 2 v 2 ≥ 0 .

Show de bola?!

Agora vamos provar a volta da implicação do enunciado:

Partindo de u + α v ≥ u , temos que

u , v = 0

De fato, temos

u 2 + 2 α u . v + α 2 v 2 ≥ u 2 ⟹ 2 α u . v + α 2 v 2 ≥ 0

Ou seja,

α 2 v 2 ≥ - 2 α u . v

Como α é qualquer, devemos tomar u , v = 0

Para que a desigualdade seja sempre possível.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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