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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 31b

Sejam u , v e w vetores não nulos com o mesmo ponto inicial no espaço tridimensional, mas tais que dois quaisquer não são colineares. Mostre que

u × v × w está no plano determinado por u e v

Passo 1

Vamos começar determinando um vetor perpendicular ao plano formado por   u e w .

n → = u → × v

Passo 2

Vamos agora determinar um vetor V → = u × v × w . Assim, para que u × v × w esteja no plano, n → ∙ V → = 0

n → ∙ V → = u → × v → ∙ u → × v → × w →

Isso é um Produto Caixa

Passo 3

Se um produto caixa possui dois vetores iguais, ele é zero. Logo:

n → ∙ V → = u → × v → ∙ u → × v → × w →

n → ∙ V → = u → × v → u → × v → w →

n → ∙ V → = 0

Resposta

V → = u × v × w está no plano

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Calcule o produto misto u * (v xx w) .u = (- 2 , 0 , 6) , v = (1 , - 3 , 1) , w = ( - 5 , - 1 , 1 )
Em cada parte calcule a expressão, supondo que u * (v xx w) = 3 b ) (u xx w) * v
Calcule o produto misto u * (v xx w) .u = (3 , - 1 , 6) , v = (2,4 , 3) , w = ( 5 , - 1 , 2 )
Encontre o volume do paralelepípedo de arestas u , v e w . u = 3 ,1 ,2 , v = 4 ,5 ,1 , w = ( 1 ,2 ,4 )
Sejam a = (a_1 , a_2 , a_3) , b = (b_1 , b_2 , b_3) , c = (c_1 , c_2 , c_3) e d = (d_1 , d_2 , d_3) . Mostre que (a + d) * (b xx c) = a * (b xx c) + d * (b xx c)