Mostre que se u , v e w forem vetores em R 3 que não são dois a dois colineares, então

u × ( v × w ) está no plano determinado por v e w

Passo 1

Nessa questão vamos usar os vetores v → e w → para achar um vetor normal ao plano.

v → × w → = n →

Passo 2

Agora, vamos n → no vetor u → × v → × w → para termos um outro vetor mais simples de trabalhar

u → × v → × w → = u → × n →

Passo 3

Para provar que esse vetor pertence ao plano. Devemos fazer o produto escalar

n → ∙ u → × n →

Que é um produto misto.

Passo 4

Assim, como são vetores no R 3 , podemos fazer um determinante com três componentes de cada vetor

n → ∙ u → × n → = n x n y n z u x u y u z n x n y n z

n x n y n z u x u y u z n x n y n z = n x u y u z n y n z - n y u x u z n x n z + n z u x u y n x n y

n x n y n z u x u y u z n x n y n z = n x u y n z - u z n y - n y u x n z - u z n x + n z u x n y - u y n x

n x n y n z u x u y u z n x n y n z = u y n x n z - u z n x n y - u x n y n z + u z n x n y + u x n y n z - u y n x n z

n x n y n z u x u y u z n x n y n z = u y n x n z - u z n x n y - u x n y n z + u z n x n y + u x n y n z - u y n x n z

n x n y n z u x u y u z n x n y n z = - u z n x n y - u x n y n z + u z n x n y + u x n y n z

n x n y n z u x u y u z n x n y n z = - u x n y n z + u x n y n z

n x n y n z u x u y u z n x n y n z = 0

Pela definição, se um produto escalar entre dois vetores resulta em 0 , então esse vetor está no plano criado por   v →   e   w → .

Resposta

u → × v → × w → está no plano criado por   v →   e   w → .

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