Sejam e 1 , e 2 , … , e r   vetores unitários de um espaço euclidiano tais que e i - e j = 1 (sempre que i ≠ j ) . Calcule o cosseno do ângulo entre dois vetores e i   e e j .

Passo 1

Falaaa... Belezinha???

Antes de mais nada vamos pegar tudo que o enunciado nos fala.

Ele nos diz que e 1 ,   e 2 , … ,   e r são vetores unitários, então já sabemos que a norma de cada um é igual a 1:

e 1 = e 1 = … = e r = 1

Então, de forma geral:

e i = e j = 1

E também foi dado que e i - e j = 1 (sempre que i ≠ j ) .

E vamos precisar lembrar da lei dos cossenos:

a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos ⁡ θ

Passo 2

Bom... Se i = j não tem muito que a gente fazer, né? É como se um vetor estiver em cima do outro, formando um ângulo de 0 graus.

cos ⁡ 0 = 1

Maaas se i ≠ j , podemos representar assim, de forma meio aleatória:

Daí a gente vai precisar aplicar a lei dos cossenos:

e i - e j 2 = e i 2 + e j 2 - 2 e i e j cos ⁡ θ

E substituindo os valores:

1 2 = 1 2 + 1 2 - 2 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ cos ⁡ θ

2 cos ⁡ θ = 1

cos ⁡ θ = 1 2

E acabamos. Bora pra mais uma?

Resposta

Se i = j :

cos ⁡ θ = 1

Se i ≠ j :

cos ⁡ θ = 1 2

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