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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 22.Problemas - Ex. 3

Supondo x ≠   0 e pondo z   =   y / x , a forma quadrática ϕ ( x ,   y )   =   A x ²   +   2 B x y   +   C y ² pode ser escrita como ϕ ( x ,   y )   =   x ²   [ A z ²   +   2 B z   +   C ] . Mostre então que as conclusões a que chegamos sobre o sinal de ϕ podem ser obtidas estudando o sinal do trinômio A z ²   +   2 B z   +   C . (Observe que se x   =   0 e y   ≠   0 , podemos escrever ϕ ( x ,   y )   =   y ²   [ A w ²   +   2 B w   +   C ] , com w   =   x /   y .)

Passo 1

Olá galera! tudo bem?

Bora junto resolver mais um problema!

Bora lá então!

Antes de começar a resolver vamos lembrar como é dado a classificação das formas quadráticas:

1. ∆   < 0   Positiva ou negativa (depende do valor de A)

2. ∆   > 0   indefinida

1. ∆   =   0     Não Positiva ou não negativa (depende do valor de A)

Preparado para começar a responder o exercício?

Temos duas formas quadrática chamadas de ϕ x ,   y onde ambas podem ser escrita de forma equiparada.

ϕ ( x ,   y )   =   A x ²   +   2 B x y   +   C y ²

ϕ ( x ,   y )   =   x ²   [ A z ²   +   2 B z   +   C ]

Onde ambas se relacionam para forma

ϕ ( x ,   y )   =   y ²   [ A w ²   +   2 B w   +   C ]

Para obtermos a classificação temos que calcular nosso ∆   = b 2 - a c

Observando nossa expressão temos que a   =   A y ²   ,   b   =     2 B y   e   c   =   C

Substituindo os valores

∆   = ( 2 B y ) 2 - A y 2 . C

∆   = 4 B 2 y 2 - A y 2 C

Neste momento temos uma expressão algébrica que podemos manipular para obtermos o possível sina da forma quadrática

Se ∆   < 0   Positiva ou negativa; logo

∆   < 4 B 2 y 2 - A y 2 C

∆   < y ² (   4 B 2 - A C )

Se ∆   > 0   indefinida

∆   > y ² (   4 B 2 - A C )

∆   =   0     Não Positiva ou não negativa

∆   = y ² (   4 B 2 - A C )

Prontinho, acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

Se ∆   < 0   Positiva ou negativa; logo

∆   < 4 B 2 y 2 - A y 2 C

∆   < y ² (   4 B 2 - A C )

Se ∆   > 0   indefinida

∆   > y ² (   4 B 2 - A C )

∆   =   0     Não Positiva ou não negativa

∆   = y ² (   4 B 2 - A C )

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