Suponha que o polinômio característico de alguma matriz A seja . Em cada parte, responda a pergunta e explique seu raciocínio.
- O que pode ser dito sobre as dimensão dos autoespaços de A?
- O que pode ser dito sobre as dimensões dos autoespaços sabendo que A é diagonalizável?
- Se for um conjunto linearmente independente de vetores de A, cada um dos quais está associado ao mesmo autovalor de A, o que pode ser dito sobre esse autovalor.
Passo 1
Item A)
Observando a equação característica, sabemos que a matriz possui três autovalores distintos . Além disso, observando as potências podemos ver que os autovalores possuem multiplicidade , respectivamente.
Então, podemos dá as seguinte afirmações sobre as dimensões dos autoespaços:
- O autovalor tem dimensão de autoespaço
- O autovalor tem dimensão de autoespaço menor ou igual
- O autovalor tem dimensão de autoespaço menor ou igual
Passo 2
Item B)
Se a matriz A for diagonalizável, isso quer dizer que a multiplicidade geométrica e algébrica são iguais para cada autovalor.
Em outras palavras, a dimensão do autoespaço é igual ao valor da multiplicidade:
- O autovalor tem dimensão de autoespaço
- O autovalor tem dimensão de autoespaço
- O autovalor tem dimensão de autoespaço
Passo 3
O conjunto tem dimensão igual a três. O único autovalor que contém um autoespaço igual a três é .
Resposta
- O autovalor tem dimensão de autoespaço o autovalor tem dimensão de autoespaço menor ou igual ; e o autovalor tem dimensão de autoespaço menor ou igual
- O autovalor tem dimensão de autoespaço ; o autovalor tem dimensão de autoespaço e o autovalor tem dimensão de autoespaço
- O autovalor associado a este conjuto é