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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 33

Suponha que o polinômio característico de alguma matriz A seja p λ = λ - 1 1 λ - 3 2 λ - 4 3 = 0 . Em cada parte, responda a pergunta e explique seu raciocínio.

  1. O que pode ser dito sobre as dimensão dos autoespaços de A?
  2. O que pode ser dito sobre as dimensões dos autoespaços sabendo que A é diagonalizável?
  3. Se [ v 1 → v 2 → v 3 → ] for um conjunto linearmente independente de vetores de A, cada um dos quais está associado ao mesmo autovalor de A, o que pode ser dito sobre esse autovalor.

Passo 1

Item A)

Observando a equação característica, sabemos que a matriz possui três autovalores distintos λ 1 = 1 ,   λ 2 = 3 ,   λ 3 = 4 . Além disso, observando as potências podemos ver que os autovalores possuem multiplicidade 1 ,   2 ,   3 , respectivamente.

Então, podemos dá as seguinte afirmações sobre as dimensões dos autoespaços:

  1. O autovalor λ 1 = 1 tem dimensão de autoespaço 1
  2. O autovalor λ 2 = 3 tem dimensão de autoespaço menor ou igual 2
  3. O autovalor λ 3 = 4 tem dimensão de autoespaço menor ou igual 3

Passo 2

Item B)

Se a matriz A for diagonalizável, isso quer dizer que a multiplicidade geométrica e algébrica são iguais para cada autovalor.

Em outras palavras, a dimensão do autoespaço é igual ao valor da multiplicidade:

  1. O autovalor λ 1 = 1 tem dimensão de autoespaço 1
  2. O autovalor λ 2 = 3 tem dimensão de autoespaço 2
  3. O autovalor λ 3 = 4 tem dimensão de autoespaço 3

Passo 3

O conjunto [ v 1 → v 2 → v 3 → ] tem dimensão igual a três. O único autovalor que contém um autoespaço igual a três é λ 3 = 4 .

Resposta

  1. O autovalor λ 1 = 1 tem dimensão de autoespaço 1 ;   o autovalor λ 2 = 3 tem dimensão de autoespaço menor ou igual 2 ; e o autovalor λ 3 = 4 tem dimensão de autoespaço menor ou igual 3
  2. O autovalor λ 1 = 1 tem dimensão de autoespaço 1 ; o autovalor λ 2 = 3 tem dimensão de autoespaço 2 ; e o autovalor λ 3 = 4 tem dimensão de autoespaço 3
  3. O autovalor associado a este conjuto é λ 3 = 4
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