Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 23

Suponha que seja autovalor de com autovetor e um número não nulo. Ache os autovalores e autovetores de .

Passo 1

Se liga na idéia. O que é um autovalor e um autovetor de uma matriz mesmo? Eles vêm daquela equação:

Também sabemos que os autovalores atendem a equação:

Passo 2

Show, então agora queremos analisar a matriz , pra achar seus autovalores e seus autovetores. Vamos primeiro substituir na segunda equação.

Ó, então vamos pensar em um valor pra esse que sirva nessa equação. Bom, ela continua bem parecida com a que a gente tinha aí em cima, né?

Então se a gente botar aquele em evidência, vai ficar mais parecido ainda! Lembra que a gente pode fazer isso, porque como a gente sabe, .

Que valor que o tem que assumir pras equações ficarem iguais?

Passo 3

Beleza, já encontramos o autovalor, falta o autovetor. É só substituir na outra equação!

Opa, essa equação aí é bem característica! Temos a matriz, multiplicada por um vetor, dando igual a um escalar vezes um vetor! Dessa forma de escrever, já podemos ver que é o autovetor!

Resposta

Autovalor e autovetor .

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Encontre a transformação linear T : R 2 → R 2 , tal que T tenha autovalores - 2 e 3 associados aos autovetores ( 3 y , y ) e - 2 y , y respectivamente.

Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas: T : R 2 → R 2 tal que T x , y = ( x + y , 2 x + y )

Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas: T : M 2 → M 2 tal que A → A ' (Isto é, T é a transformação que leva uma matriz na sua transposta.)

Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas: T : R 3 → R 3 tal que T x , y , z = ( x + y , x - y + 2 z , 2 x + y - z )