Suponha que λ seja autovalor de T : V → V com autovetor v e α um número não nulo. Ache os autovalores e autovetores de α T .

Passo 1

Se liga na idéia. O que é um autovalor e um autovetor de uma matriz mesmo? Eles vêm daquela equação:

T v = λ v

Também sabemos que os autovalores atendem a equação:

det ⁡ T - λ I = 0

Passo 2

Show, então agora queremos analisar a matriz α T , pra achar seus autovalores e seus autovetores. Vamos primeiro substituir na segunda equação.

det ⁡ α T - λ ' I = 0

Ó, então vamos pensar em um valor pra esse λ ' que sirva nessa equação. Bom, ela continua bem parecida com a que a gente tinha aí em cima, né?

det ⁡ T - λ I = 0

Então se a gente botar aquele α em evidência, vai ficar mais parecido ainda! Lembra que a gente pode fazer isso, porque como a gente sabe, det ⁡ α A = α d e t A .

α det ⁡ T - λ ' α I = 0

Que valor que o λ ' tem que assumir pras equações ficarem iguais?

λ ' α = λ

λ ' = α λ

Passo 3

Beleza, já encontramos o autovalor, falta o autovetor. É só substituir na outra equação!

α T v = λ ' v

( α T ) v = ( α λ ) v

Opa, essa equação aí é bem característica! Temos a matriz, multiplicada por um vetor, dando igual a um escalar vezes um vetor! Dessa forma de escrever, já podemos ver que v é o autovetor!

Resposta

Autovalor α λ e autovetor v .

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