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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 4

Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas:

T : R 3 → R 3 tal que T x , y , z = ( x + y , x - y + 2 z , 2 x + y - z )

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Sendo:

T 1,0 , 0 = 1,1 , 2 = 1 1,0 , 0 + 1 0,1 , 0 + 2 0,0 , 1

T 0,1 , 0 = 1 , - 1,1 = 1 1,0 , 0 - 1 0,1 , 0 + 1 0,0 , 1

T 0,0 , 1 = 0,2 , - 1 = 0 1,0 , 0 + 2 0,1 , 0 - 1 0,0 , 1

Temos:

T = 1 1 2       1 - 1 1       0 2 - 1

Lembrando que det ⁡ T - λ I = 0 . Como λ I = λ . Temos que:

1 - λ 1 2       1 - 1 - λ 1       0 2 - 1 - λ = 0

Usando Laplace, temos:

1 - λ - 1 1 + 1 - 1 - λ 1       2 - 1 - λ + 1 - 1 1 + 2 1 2       2 - 1 - λ = 0

1 - λ - 1 - λ 2 - 2 - - 1 - λ - 4 = 0

1 - λ λ 2 + 2 λ + 1 - 2 + λ + 5 = 0

1 - λ λ 2 + 2 λ - 1 + λ + 5 = 0

λ 2 + 2 λ - 1 - λ 3 - 2 λ 2 + λ + λ + 5 = 0

- λ 3 - λ 2 + 4 λ + 4 = 0

λ 3 + λ 2 - 4 λ - 4 = 0

É possível notar que as raízes têm que ser divisores de - 4 , logo, temos como raízes:

λ 1 = - 2

λ 2 = - 1

λ 3 = 2

Passo 2

Multiplicando a matriz de transformação pelo vetor v , temos:

Para λ 1 = - 2 :

1 1 2       1 - 1 1       0 2 - 1 x y z = - 2 x y z

x + y = - 2 x

x - y + 2 z = - 2 y

2 x + y - z = - 2 z

Resolvendo, temos:

x = - y 3

y = y

z = - y 3

Logo, a combinação que gera o espaço vetorial V :

- y 3 , y , - y 3 = - y , 3 y , - y = y - 1,3 , - 1

O autovetor:

v 1 = - 1,3 , - 1

Assim, dizemos que V é gerado pelo autovetor v 1 , ou seja, V - 2 = - 1,3 , - 1 , quando λ = - 2 .

Passo 3

Para λ 2 = - 1 :

1 1 2       1 - 1 1       0 2 - 1 x y z = - 1 x y z

x + y = - x

x - y + 2 z = - y

2 x + y - z = - z

Resolvendo, temos:

x = - y 2

y = y

z = y 4

Logo, a combinação que gera o espaço vetorial V :

- y 2 , y , y 4 = - 2 y , 4 y , y = y - 2,4 , 1

O autovetor:

v 2 = - 2,4 , 1

Assim, dizemos que V é gerado pelo autovetor v 2 , ou seja, V - 1 = - 2,4 , 1 , quando λ = - 1 .

Passo 4

Para λ 3 = 2 :

1 1 2       1 - 1 1       0 2 - 1 x y z = 2 x y z

x + y = 2 x

x - y + 2 z = 2 y

2 x + y - z = 2 z

Resolvendo, temos:

x = y

y = y

z = y

Logo, a combinação que gera o espaço vetorial V :

y , y , y = y 1,1 , 1

O autovetor:

v 3 = 1,1 , 1

Assim, dizemos que V é gerado pelo autovetor v 3 , ou seja, V 2 = 1,1 , 1 , quando λ = 2 .

.

Resposta

v 1 = - 1,3 , - 1   p a r a   λ = - 2  

v 2 = - 2,4 , 1   p a r a   λ = - 1  

v 3 = 1,1 , 1   p a r a   λ = 2

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