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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 3

Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas:

T : R 2 → R 2 tal que T x , y = ( x + y , 2 x + y )

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Sendo:

T 1,0 = 1 , 2 = 1 1 , 0 + 2 ( 0 , 1 )

T 0,1 = 1 , 1 = 1 1 , 0 + 1 ( 0 , 1 )

Temos:

T = 1 2       1 1

Lembrando que det ⁡ T - λ I = 0 . Como λ I = λ . Temos que:

1 - λ 2       1 1 - λ = 1 - λ 2 - 2 = 0

λ 2 - 2 λ - 1 = 0

Resolvendo por b a s k a r a , encontramos:

λ 1 = 1 + 2

λ 2 = 1 - 2

Passo 2

Multiplicando a matriz de transformação pelo vetor v , temos:

Para λ 1 = 1 + 2 :

1 2       1 1 x y = ( 1 + 2 ) x y

x + y = 1 + 2 x

2 x + y = 1 + 2 y

Aplicando a distributiva, temos:

x + y = x + x 2

y = x 2

Logo, a combinação que gera o espaço vetorial V :

x , x 2 = x 1 , 2

O autovetor:

v 1 = 1 , 2

Assim, dizemos que V é gerado pelo autovetor v 1 , ou seja, V 1 + 2 = 1 , 2 , quando λ = 1 + 2 .

Para λ 2 = 1 - 2 :

1 2       1 1 x y = ( 1 - 2 ) x y

x + y = 1 - 2 x

2 x + y = 1 - 2 y

Aplicando a distributiva, temos:

x + y = x - x 2

y = - x 2

Logo, a combinação que gera o espaço vetorial V :

x , - x 2 = x 1 , - 2

O autovetor:

v 2 = 1 , - 2

Assim, dizemos que V é gerado pelo autovetor v 2 , ou seja, V 1 - 2 = 1 , - 2 , quando λ = 1 - 2 .

.

Resposta

v 1 = 1 , 2   p a r a   λ = 1 + 2  

v 2 = 1 , - 2   p a r a   λ = 1 - 2  

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