Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 6

Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas:

T : M 2 → M 2 tal que A → A ' (Isto é, T é a transformação que leva uma matriz na sua transposta.)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos que:

T 1 0       0 0 = 1 0       0 0 = 1 1 0       0 0 + 0 0 0       1 0 + 0 0 1       0 0 + 0 0 0       0 1

T 0 0       1 0 = 0 1       0 0 = 0 1 0       0 0 + 0 0 0       1 0 + 1 0 1       0 0 + 0 0 0       0 1

T 0 1       0 0 = 0 0       1 0 = 0 1 0       0 0 + 1 0 0       1 0 + 0 0 1       0 0 + 0 0 0       0 1

T 0 0       0 1 = 0 0       0 1 = 0 1 0       0 0 + 0 0 0       1 0 + 0 0 1       0 0 + 1 0 0       0 1

Temos:

T = 1 0 0 0       0 0 1 0       0 1 0 0       0 0 0 1

Lembrando que det ⁡ T - λ I = 0 . Como λ I = λ . Temos que:

1 - λ 0 0 0       0 0 - λ 1 0       0 1 0 - λ 0       0 0 0 1 - λ = 0

Temos que:

( 1 - λ ) 1 - λ 0 0       0 - λ 1       0 1 - λ

1 - λ 1 - λ λ 2 - 1 = 0

É possível notar que, temos como raízes:

λ 1 = 1

λ 2 = - 1

Passo 2

Multiplicando a matriz de transformação pelo vetor v , temos:

Para λ 1 = 1 :

1 0 0 0       0 0 1 0       0 1 0 0       0 0 0 1 x y z w = 1 x y z w

x = x

z = y

y = z

w = w

Logo:

x , z , z , w = x 1,0 , 0,0 + z 0,1 , 1,0 + w ( 0,0 , 0,1 )

O autovetor:

v 1 = 1,0 , 0,0 , 0,1 , 1,0 , 0,0 , 0,1

Assim, dizemos que V é gerado pelo autovetor v 1 , ou seja, V 1 = 1,0 , 0,0 , 0,1 , 1,0 , 0,0 , 0,1 , quando λ = 1 .

Passo 3

Para λ 2 = - 1 :

1 0 0 0       0 0 1 0       0 1 0 0       0 0 0 1 x y z w = - 1 x y z w

x = - x = 0

z = - y

y = - z

w = - w = 0

Logo:

0 , - z , z , 0 = z 0 , - 1,1 , 0

O autovetor:

v 2 = 0 , - 1,1 , 0

Assim, dizemos que V é gerado pelo autovetor v 2 , ou seja, V - 1 = 0 , - 1,1 , 0 , quando λ = - 1 .

Resposta

v 1 = 1,0 , 0,0 , 0,1 , 1,0 , 0,0 , 0,1   p a r a   λ = 1  

v 2 = 0 , - 1,1 , 0   p a r a   λ = - 1  

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: A = 1 0 2 - 1 0 1 1 1 2
Seja A = - 1 - 2 0 0 - 1 1 1 0 0 . Quais são os autovalores e autovetores de A de um espaço vetorial:RealComplexo
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: A = 1 1 2 1 2 1 2 1 1
Sejam A = 1 2 1 0 - 1 1 0 0 - 1 e B = 1 3 1 0 2 0 0 0 3 matrizes inversíveis.Calcule A B e B A e observe que estes produtos são distintos.Encontre os autovalores de A B e os de B A . O que observa?Enc
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas: T : R 4 → R 4 tal que T x , y , z , w = x , x + y , x + y + z , x + y + z + w .