1. Uma matriz diagonal é uma matriz do tipo:

Como as matrizes diagonais pertencem ao espaço vetorial das matrizes , só precisamos provar que ela é um subespaço desse espaço.

Para isso temos que verificar se esse tipo de matriz é fechado para a soma e para o produto por escalar, ou seja, é necessário cumprir esses dois requisitos:

Então vamos escrever duas matrizes diagonais, e vamos observar que realmente é o caso que somente os elementos da diagonal são alterados com as operações de soma e multiplicação por escalar, portanto teremos no resultado também uma matriz diagonal.

Vamos ver um exemplo:

Logo o resultado da soma também é uma matriz diagonal.

Logo na multiplicação por escalar também temos como resultado uma matriz diagonal.

Para descobrir a dimensão vamos seguir o seguinte raciocínio, podemos escrever uma matriz qualquer desse tipo como:

Então para cada elemento precisamos de uma matriz geradora. Logo, a dimensão desse espaço é .

Passo 2

2. As matrizes escalares são um caso especial das matrizes diagonais, onde . Então do item anterior, temos que elas também formam um subespaço.

Nesse caso somente uma matriz identidade (que é a matriz geradora desse subespaço) de ordem é suficiente para gerar todas as matrizes desse espaço:

Do que temos que a dimensão desse subespaço é .

Passo 3

3. Vamos aproveitar o fato de as matrizes de ordem 2 formarem um subespaço, uma vez que o conjunto fornecido é subconjunto das matrizes de ordem 2. Para provar que esse subconjunto é de fato um subespaço e, consequentemente, um espaço vetorial, devemos conferir a soma e a multiplicação por escalar.
1. Soma:

Veja que a soma é do mesmo tipo que as matrizes desse conjunto, do que temos que a soma de dois elementos desse conjunto está contida nesse conjunto.

2. Multiplicação por escalar :

Veja que a matriz multiplicada por um escalar qualquer ainda é da mesma forma que as matrizes do conjunto, do que segue que a multiplicação por escalar gera matrizes pertencentes ao conjunto.

Do discutido acima, temos que esse conjunto é um subespaço das matrizes e, portanto, é um espaço vetorial. Sua base é dada por:

Do que segue que sua dimensão é .

Passo 4

4. Nesse item a única diferença é que estamos trabalhando com um vetor, então seguindo a mesma linha de raciocínio podemos escrever:

Logo esse espaço é fechado para a soma, e:

Logo também é fechado para o produto por escalar. Para encontrar sua base podemos escrever:

Veja que somente o vetor (1, 1, ..., 1) é necessário para gerar esse espaço, do que segue que sua dimensão é 1.

Passo 5

5. Esse conjunto não pode ser um espaço, e isso acontece por que na primeira coordenada temos aquele número 1, e isso significa que todos os vetores desse espaço terão que possuir esse número 1 na primeira coordenada.

Então se fossemos testar para a multiplicação por escalar e escolhêssemos teríamos:

Como é possível observar, geramos um vetor que não faz parte desse subconjunto.

A justificativa formal para esse subconjunto não poder ser considerado subespaço utilizando-se das operações usuais, é que ele não contém o elemento neutro

Passo 6

6. Nesse item temos o mesmo problema do item anterior, e não podemos considerar subespaço pois esse subconjunto não contém o elemento neutro .

Passo 7

7. Usando a linha de raciocínio dos itens anteriores, podemos testar que este conjunto é fechado para a soma e para a produto por escalar, portanto é um subespaço do .

Sua base pode ser encontrada como segue abaixo:

Que possui como base e dimensão .