Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 18
Suponha que a temperatura no ponto de uma placa metálica seja dada por . Uma formiga caminhando na placa percorre uma circunferência de raio centrada na origem. Quais são a maior e a menor temperaturas encontradas pela formiga?
Passo 1
Desejamos achar os pontos de máximo e mínimo da nossa função e, para isso, vamos ter que encontrar primeiramente quem são os nossos pontos críticos e esses, por sua vez, são encontrados calculando as derivadas parciais e igualando-as a zero. Sendo assim, vamos ter
Temos que a nossa formiga percorre uma circunferência de raio e centrada na origem, ou seja, uma circunferência cuja equação é dada por
Pois bem, como estamos querendo saber as temperaturas que a formiga vai perceber podemos substituir a relação dada em na equação acima de forma que obtemos
Os valores de correspondentes serão dados por
Portanto, temos como pontos críticos os seguintes pontos:
Passo 2
Com isso, podemos montar nossa matriz Hessiana que será dada por
Sendo assim, podemos reescrever todos os pontos críticos na forma Hessiana como sendo
Passo 3
Agora, podemos encontrar os autovalores relacionados a cada um desses pontos (que no caso geraram uma mesma matriz hessiana) através da equação característica e fazer afirmações sobre os mesmos. Assim, temos
Para a função dada os pontos críticos são pontos de sela. No entanto, devido a restrição dada pelo caminhar da nossa formiga temos que esses pontos serão de máximo ou mínimo dentro da restrição , sendo assim, substituamos nossos pontos na equação de para verificarmos o resultado
Pela simetria do problema vamos ter
.
Tá mas e o ponto de temperatura mínima? Calma jovem gafanhoto, vem tranquilo. Achou que não ia usar a restrição da trajetória da formiga pra nada, né?
A nossa tempera mínima vai ser dada exatamente pelo mínimo das duas restrições de , ou seja, pelo ponto cuja temperatura correspondente será