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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 22

Use o método do exemplo 5 para calcular A^(10) , sendo:

A = [[[1,0],[-,1,2]]]

Passo 1

A questão nos dá a seguinte matriz:

A = [[[1,0],[-,1,2]]]

Essta é uma matriz triangular, então os autovalores são:

[[lambda_1,=,1,lambda_2,=,2]]

Passo 2

Vamos calcular os autovetores:

[[[lambda,-,1,0],[1,lambda,-,2]]] [[[x_1],[x_2]]] = 0

  • Para lambda = 1

    • [[[0,0],[1,-,1]]] [[[x_1],[x_2]]] = 0

    [[x_1,=,t,x_2,=,t]]

    O autovetor é:

    lambda_1 = 1 => vec x_1 = t [[[1],[1]]]

    A base do autovetor é:

    vec p_1 = [[[1],[1]]]

  • Para lambda = 2

[[[1,0],[1,0]]] [[[x_1],[x_2]]] = 0

[[x_1,=,0,x_2,=,t]]

O autovetor é:

lambda_2 = 1 => vec x_2 = t [[[0],[1]]]

A base do autovetor é:

vec p_2 = [[[0],[1]]]

Passo 3

A matriz P é:

P = [[[vec p_1,vec p_2]]] = [[[1,0],[1,1]]]

Vamos inverter a matriz P por Eliminação Gaussiana:

P^(- 1) = [[[1,0,|,1,0],[1,1,|,0,1]]]

Vamos pegar a primeira linha e subtrair na segunda linha:

P^(- 1) = [[[1,0,|,1,0],[0,1,|,-,1,1]]]

P^(- 1) = [[[1,0],[-,1,1]]]

E a diagonal é dada pelos autovetores:

D = [[[1,0],[0,2]]]

Passo 4

O método diz que:

A^k = P D^k P^(- 1)

Então vamos aplicar:

A^(10) = [[[1,0],[1,1]]] * [[[1,0],[0,2]]]^(10) * [[[1,0],[-,1,1]]]

Como a matriz é diagonal podemos colocar a potência dentro da matrix:

A^(10) = [[[1,0],[1,1]]] * [[[1,0],[0,2^(10)]]] * [[[1,0],[-,1,1]]]

Efetuando as multiplicações matriciais

A^(10) = [[[1,0],[1,2^(10)]]] * [[[1,0],[-,1,1]]]

Chegamos na resposta

A^(10) = [[[1,0],[1,-,2^(10),2^(10)]]]

Resposta

A^(10) = [[[1,0],[1,-,2^(10),2^(10)]]]

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