Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 16
Nos exercícios 16-21, encontre as multiplicidades geométricas e algébrica de cada autovalor de A e determine se A é diagonalizável. Se for, encontre uma matriz P que diagonalize A e calcule
Passo 1
A questão nos dá a seguinte matriz:
Primeiro vamos determinar os autovalores da matriz
Então, os autovalores são:
Onde o tem multiplicidade algébrica igual dois, pois é elevado ao quadrado.
E tem multiplicidade algébrica igual a 1, pois é elevado a um.
Passo 2
Então vamos calcular os autovetores:
Para
Utilizando Eliminação Gaussiana podemos encontrar os valores de . Vamos pegar a última linha e subtrair na primeira:
Vamos multiplicar a primeira linha e aplicar na segunda e na terceira:
Vamos multiplicar a primeira linha por , dividir a segunda linha por e a terceira por
E vamos subtrair a segunda linha na terceira:
Então:
Logo:
O autovetor associado é:
O autovalor tem apenas um autovetor, então sua multiplicidade geométrica é . Contudo sua multiplicidade algébrica é igual a . Como a multiplicidade geométrica é diferente da multiplicidade algébrica, então a matriz não é diagonalizável.
Resposta
A matriz não é diagonalizável.