Prove que matrizes semelhantes têm o mesmo posto

Passo 1

Seja uma matriz A de dimensão n xx n

Uma matriz B será semelhante a matriz A se respeitar a relação

B = P^(- 1) A P

Como P , P^(- 1) também são matrizes n xx n , então B será n xx n também.

Passo 2

Agora vamos calcular o determinante da matriz B:

|B| = |P^(- 1) A P|

Sabemos que o determinante do produto é igual ao produto das determinantes:

|B| = |P^(- 1)| * |A| * |P|

Como os determinantes são escalares, podemos reordenálos:

|B| = |A| * |P^(- 1)| * |P|

E podemos juntar duas matrizes em um determinante só:

|B| = |A| * |P^(- 1) * P|

O produto entre a matriz e sua inversa é igual a matriz identidade. E o determinante da identidade é igual a 1

|B| = |A| * |I|

|B| = |A|

As duas matrizes possuem o mesmo módulo. E duas matrizes com o mesmo módulo devem possuir o mesmo número de linhas nulas.

Logo o posto de B deve ser igual ao posto de A.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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