Prove que matrizes semelhantes têm o mesmo posto
Passo 1
Seja uma matriz de dimensão
Uma matriz será semelhante a matriz A se respeitar a relação
Como , também são matrizes , então será também.
Passo 2
Agora vamos calcular o determinante da matriz B:
Sabemos que o determinante do produto é igual ao produto das determinantes:
Como os determinantes são escalares, podemos reordenálos:
E podemos juntar duas matrizes em um determinante só:
O produto entre a matriz e sua inversa é igual a matriz identidade. E o determinante da identidade é igual a
As duas matrizes possuem o mesmo módulo. E duas matrizes com o mesmo módulo devem possuir o mesmo número de linhas nulas.
Logo o posto de B deve ser igual ao posto de A.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)