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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.9 - Ex. 18c

Use a multiplicação matricial para encontrar a imagem do vetor ( 3 ,   - 4 ) se for girado por um ângulo de θ = 45 ° .

Passo 1

Primeiro devemos ter em mente a matriz de rotação R θ apresentada no livro, que é dada por:

cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Sendo θ o ângulo de rotação do vetor:

p a r a   r o t a ç õ e s   n o   s e n t i d o   h o r á r i o   o   v a l o r   d e   θ   é   n e g a t i v o           p a r a   r o t a ç õ e s   n o   s e n t i d o   a n t i - h o r á r i o   o   v a l o r   d e   θ   é   p o s i t i v o

Passo 2

Agora escrevemos as equações em forma de matriz para uma rotação de 45 ° , dessa forma temos:

R 45 ° x → = cos  45 ⁡   ° - sen ⁡ 45   ° sen ⁡ 45   ° cos ⁡ 45   ° * 3 - 4

Passo 3

Realizando a multiplicação:

R 45 ° x → = 3 * cos ⁡ 45 ° + - 4 * ( - sen ⁡ 45 ° ) 3 * sen ⁡ 45 ° + - 4 * cos ⁡ 45 °

Logo a imagem de 3 , - 4 defletida em um ângulo de 45 ° é:

  - 4,9497 ,   - 0,7071 .

Resposta

  - 4,9497 ,   - 0,7071 .

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Encontre a matriz canônica para a composição dada em R 2 para uma projeção ortogonal sobre o eixo y seguida de uma contração de fator k = 1 2 .
Encontre a matriz canônica para a composição dada em R 2 para uma reflexão sobre o eixo x seguida de uma dilação de fator k = 3 .
Encontre a matriz canônica para a composição dada em R 3 para uma rotação de 30 ° em torno do eixo x , seguida de uma rotação de 30 ° em torno do eixoz , seguida de uma contraçãode fator k = 1 4
Determine se T 1∘ T 2 =T 2 ∘T 1 . T 1:R 2→R 2 é a projeção ortogonal sobre o eixo x e T 2:R 2→R 2 é a rotação por um ângulo θ
Determine se T 1∘ T 2 =T 2 ∘T 1 . T 1:R 3→R 3 é a rotação em torno do eixo x por um ângulo θ:R 3→R 3 é arotação em torno do eixo z por um ângulo θ .