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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.10 - Ex. 10b

Determine se T 1   ∘ T 2 =   T 2 ∘   T 1 .

T 1   :   R 3   →   R 3 é a rotação em torno do eixo x por um ângulo θ   :   R 3   →   R 3 é a

rotação em torno do eixo z por um ângulo θ .

Passo 1

A matriz que representa a rotação em torno do eixo x é:

T 1 = cos ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ 1 0 sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 0 0 0 1

A matriz que representa a rotação em torno do eixo z é:

T 2 = 1 0 0 0 cos ⁡ θ 2 - sen ⁡ θ 2 0 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2

Passo 2

Agora vamos fazer o produto interno obedecem ao critério apresentado

T 1 ∘ T 2 = cos ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ 1 0 sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 0 0 0 1 ⋅ 1 0 0 0 cos ⁡ θ 2 - sen ⁡ θ 2 0 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2

T 1 ∘ T 2 = cos ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ 1 * cos ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 1 * sen ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 * cos ⁡ θ 2 - sen ⁡ θ 2 * cos ⁡ θ 1 0 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2

e

T 1 ∘ T 2 = 1 0 0 0 cos ⁡ θ 2 - sen ⁡ θ 2 0 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 ⋅ cos ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ 1 0 sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 0 0 0 1

T 1 ∘ T 2 = cos ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ 1 0 sen ⁡ θ 1 * sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 * cos ⁡ θ 2 - sen ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 1 * sen ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 1 * cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2

Não, T 1   ∘ T 2 ≠   T 2 ∘   T 1 .

Resposta

Não

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