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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 6

Use o processo de Gram-Schmidt para obter a base ortonormal 5 a partir da base 3 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Vamos aplicar o processo Gram-Schmidt para encontrar bases ortonormais para os vetores base.

Temos que:

v 1 = 1

E:

v 2 = u 2 - u 2 , v 1 v 1 2 v 1

Resolvendo, temos que:

v 2 = cos ⁡ x

Temos também que:

v 3 = u 3 - u 3 , v 1 v 1 2 v 1 - u 3 , v 2 v 2 2 v 2

Resolvendo, temos que:

v 3 = cos ⁡ 2 x

Portanto, podemos ter a regra geral:

v n + 1 = cos ⁡ n x

Analogamente, temos que:

v n + 2 = sen ⁡ n x

Passo 2

Normalizando os vetores de base, a base ortonormal é dada por:

1 1 ,   cos ⁡ x cos ⁡ x , cos ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x , ⋯ ,   cos ⁡ n x cos ⁡ n x ,   sen ⁡ x sen ⁡ x ,   sen ⁡ 2 x sen ⁡ 2 x , ⋯ ,   sen ⁡ n x sen ⁡ n x

Substituindo pelos valores, temos que:

1 2 π ,   cos ⁡ x π , cos ⁡ 2 x π , ⋯ ,   cos ⁡ n x π ,   sen ⁡ x π ,   sen ⁡ 2 x π , ⋯ ,   sen ⁡ n x π

Portanto, esta é a base ortonormal necessária para 1 , cos ⁡ x , cos ⁡ 2 x ,   ⋯ , cos ⁡ n x , sen ⁡ x ,   sen ⁡ 2 x , ⋯ ,   sen ⁡ n x .

Resposta

1 2 π ,   cos ⁡ x π , cos ⁡ 2 x π , ⋯ ,   cos ⁡ n x π ,   sen ⁡ x π ,   sen ⁡ 2 x π , ⋯ ,   sen ⁡ n x π

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