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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 17

Encontre uma matriz unitária P que diagonalize a matriz hermitiana A e determine P - 1 A P .

A = 5 0 0 0 - 1 - 1 + i 0 - 1 - i 0

Passo 1

Devemos nos lembrar que a equação característica da nossa matriz A de acordo com o teorema 5 é dada na seguinte forma

det ⁡ λ I - A = 0

Colocando sob a forma matricial podemos reescrever a equação acima como sendo

det ⁡ λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ - 5 0 0 0 - 1 - 1 + i 0 - 1 - i 0 = det ⁡ λ - 5 0 0 0 λ + 1 1 - i 0 1 + i λ

Esse determinante nos fornece a seguinte equação característica

det ⁡ A = λ 3 - 4 λ 2 - 7 λ + 10

Cujas raízes são λ 1 = 1   ,   λ 2 = - 2 , λ 3 = 5 .

Passo 2

Pois bem, devemos nos lembrar que para encontrar os auto vetores que correspondem aos autovalores, resolvemos um sistema não trivial dado por

λ I - A ⋅ x = 0

Na notação matricial fica sendo

λ - 5 0 0 0 λ + 1 1 - i 0 1 + i λ ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Para o primeiro autovalor λ 1 = 1 vamos obter o seguinte sistema

- 4 0 0 0 2 1 - i 0 1 + i 1 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Faremos as seguintes operações com esse sistema

T r o c a s   a   L 3   c o m   a   L 2   d e   l u g a r ,   L 3 - 1 - i L 1 → L 3

Obteremos o seguinte

- 4 0 0 0 1 + i 1 0 0 0  

Agora, faremos

1 2 - i 2 L 2 → L 2 ,   - 1 4 L 1 → L 1

E, assim, vamos encontrar

1 0 0 0 1 1 2 - i 2 0 0 0

Então, ficamos com

1 0 0 0 1 1 2 - i 2 0 0 0 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

→ x 1 = 0 ,   x 2 + 1 2 - i 2 x 3 = 0 → x 2 = - 1 2 + i 2 ⋅ x 3

Assim, teremos o seguinte auto vetor associado ao primeiro autovalor

0 - 1 2 + i 2 1

Passo 3

Repetindo o mesmo processo para o nosso segundo autovalor λ 2 = - 2 vamos obter

- 7 0 0 0 - 1 1 - i 0 1 + i - 2 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Realizaremos as seguintes operações, em sequência, com nosso sistema

t r o c a r   a   L 2   c o m   a   L 3   d e   l u g a r ,   L 3 - - 1 2 + i 2 L 2 → L 3

1 2 - i 2 L 2 → L 2 , - L 1 7 → L 1

E vamos obter o nosso sistema reescrito como

1 0 0 0 1 - 1 + i 0 0 0 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

→ x 1 = 0 ,   x 2 + - 1 + i ⋅ x 3 = 0 → x 2 = 1 - i ⋅ x 3  

Assim, o nosso autovetor associado ao nosso segundo autovalor será

0 1 - i 1

Passo 4

Agora, vamos repetir o mesmo procedimento para o ultimo autovalor λ 3 = 5 obtendo o sistema

0 0 0 0 6 1 - i 0 1 + i 5 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Realizaremos as seguintes operações, em sequência, com nosso sistema

t r o c a r   a   L 2   c o m   a   L 3   d e   l u g a r ,   L 3 - 3 - 3 i L 2 → L 3

- 1 28 - i 28 L 3 → L 3 , L 2 - 5 L 3 → L 2

1 2 - i 2 L 2 → L 2

Então nosso sistema passa a ser o seguinte

0 0 1 0 1 0 0 0 0 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

x 1 = x 2 = 0 ,   x 3 = x 3

Teremos, nesse caso, o seguinte autovetor associado ao nosso terceiro autovalor

0 0 1

Passo 5

Aplicando o algoritmo de Gram-Schmidt para cada uma dessas bases para obter bases ortonormais para os auto espaços. Então teremos

v 1 = x 1 x 1

v 1 = 1 0 2 + | - 1 + i | 2 + 1 2 ⋅ 0 - 1 + i 2 = 1 6 ⋅ 0 - 1 + i 2 = 0 - 1 + i 6 2 6

Procedendo de maneira igual para v 2 teremos

v 2 = x 2 x 2 = 1 0 2 + 1 - i 2 + | 1 | 2 ⋅ 0 1 - i 1 = 1 3 ⋅ 0 1 - i 1

v 2 = 0 1 - i 3 1 3

Do mesmo jeito para v 3 teremos

v 2 = 1 0 2 + | 0 | 2 + 1 2 ⋅ 1 0 0 = 1 ⋅ 1 0 0 = 1 0 0

Portanto, A é diagonalizável pela matriz unitária

P = 0 0 1 - 1 + i 6 1 - i 3 0 2 6 1 3 0

Ainda conseguimos encontrar a matriz P - 1 fazendo

P - 1 = 1 det ⁡ P ⋅ a d j   P = 0 - 6 6 - i 6 6 2 3 0 3 3 + i 3 3 1 3 1 0 0

Passo 6

Finalmente, para concluirmos o nosso exercício vamos calcular P - 1 A P fazendo

P - 1 A P = 0 - 6 6 - i 6 6 2 3 0 3 3 + i 3 3 1 3 1 0 0 ⋅ 5 0 0 0 - 1 - 1 + i 0 - 1 - i 0 ⋅ 0 0 1 - 1 + i 6 1 - i 3 0 2 6 1 3 0

Lembrando que a multiplicação de matrizes se dá fazendo linha vezes coluna vamos multiplicar as matrizes duas a duas da parte mais a esquerda e obteremos o seguinte

P - 1 A P = 0 - 6 6 - i 6 6 2 3 0 3 3 + i 3 3 - 2 3 5 0 0 ⋅ 0 0 1 - 1 + i 6 1 - i 3 0 2 6 1 3 0

P - 1 A P = 1 0 0 0 - 2 0 0 0 5

Resposta

P = 0 0 1 - 1 + i 6 1 - i 3 0 2 6 1 3 0     ,   P - 1 A P = 1 0 0 0 - 2 0 0 0 5

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