Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 4

  1. Encontre a aproximação de mínimos quadrados de f x = e x no intervalo 0 ,   1 por uma função da forma a 0 + a 1 x .
  2. Encontre o erro quadrático médio da aproximação.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos a seguinte função:

f x = e x

A aproximação de mínimos quadrados de f x no intervalo 0 ,   1 por uma função do tipo a 0 + a 1 x é a função g x no subespaço W estendida por 1 ,   x .

Para encontrar g x primeiro vamos encontrar uma base ortonormal para W aplicando o processo Gram-Schmidt em 1 ,   x .

Consideremos:

w 1 = v 1 = 1

E:

w 2 = v 2 - w 1 , v 2 w 1 2 w 1

Temos que:

w 2 = e x - 1 , x 1 2 1

w 2 = x - 1 2

Então, 1 ,   x - 1 2 é uma base ortonormal para W .

Passo 2

Vamos normalizar cada vetor de 1 ,   x - 1 2 para obter uma base ortonormal g 0 ,   g 1 :

g 0 = w 1 w 1 = 1

g 1 = w 2 w 2

Logo:

g 1 = x - 1 2 x - 1 2

g 1 = x - 1 2 1 12

g 1 = 12 x - 1 2

Portanto:

g x = e - 1 + 6 x - 1 2 - e + 3

Passo 3

O erro quadrático médio de aproximação é dado por:

f - g 2 = ∫ 0 1 f x - g x 2 d x

f - g 2 = ∫ 0 1 x - e - 1 + 6 x - 1 2 - e + 3 2 d x

Resolvendo, temos que:

f - g 2 = - 4 e 2 + 20 e + e 2 - 1 2 - 28

Resposta

a )   g x = e - 1 + 6 x - 1 2 - e + 3

b )   f - g 2 = - 4 e 2 + 20 e + e 2 - 1 2 - 28

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a aproximação de mínimos quadrados de sen ⁡ π x no intervalo - 1 ,1 por um polinômio da forma a 0 + a 1 x + a 2 x 2 .Encontre o erro quadrático médio da aproximação.
Encontre a aproximação de mínimos quadrados de f x = x no intervalo 0 ,1 por uma função da forma a + b e x .Encontre o erro quadrático médio da aproximação.
Encontre a aproximação de mínimos quadrados de f x = x 2 no intervalo 0 ,2 π porUm polinômio trigonométrico de ordem 3 ou menor.Um polinômio trigonométrico de ordem n ou menor.
3. Enunciar rigorosamente e provar: um operador linear do R n preserva os centróides.
4. Tomemos três vetores no R 2 , cujas extremidades formem um triângulo. Qual é o ponto do triângulo que coincide com a extremidade do centróide dos três vetores?