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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 7

Efetue as integrações indicadas em (9 a) , (9 b) e (9 c) .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Para (9 a) , temos que:

(1)/(pi) int_0^(2 pi) x d x = (1)/(pi) [(x^(1 + 1))/(1 + 1)]_0^(2 pi)

(1)/(pi) int_0^(2 pi) x d x = (1)/(pi) [(x^2)/(2)]_0^(2 pi)

(1)/(pi) int_0^(2 pi) x d x = 2 pi

Passo 2

Para ( 9 b ) , temos que:

(1)/(pi) int_0^(2 pi) x cos k x d x

Para esta integral temos que aplicar a integração por partes:

(1)/(pi) int_0^(2 pi) x cos k x d x = (1)/(pi) [x int cos k x d x - int ((d)/(d x) (x) int cos k x d x) d x]_0^(2 pi)

(1)/(pi) int_0^(2 pi) x cos k x d x = (1)/(pi) [x ((sen k x)/(k)) - int (1 ((sen k x)/(k))) d x]_0^(2 pi)

(1)/(pi) int_0^(2 pi) x cos k x d x = (1)/(pi) ((1)/(k^2) - (1)/(k^2)) = 0

Passo 3

Para (9 c) , temos que:

(1)/(pi) int_0^(2 pi) x sen k x d x

Para esta integral temos que aplicar a integração por partes:

(1)/(pi) int_0^(2 pi) x sen k x d x = (1)/(pi) [x int sen k x d x - int ((d)/(d x) (x) int sen k x d x) d x]_0^(2 pi)

(1)/(pi) int_0^(2 pi) x sen k x d x = (1)/(pi) [x ((cos k x)/(k)) - int (1 ((cos k x)/(k))) d x]_0^(2 pi)

(1)/(pi) int_0^(2 pi) x sen k x d x = (1)/(pi) (- (2 pi)/(k)) = - (2)/(k)

Resposta

(9 a) -> (1)/(pi) int_0^(2 pi) x d x = 2 pi

(9 b) -> (1)/(pi) int_0^(2 pi) x cos k x d x = 0

(9 c) -> (1)/(pi) int_0^(2 pi) x sen k x d x = - (2)/(k)

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