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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 9

Encontre a série de Fourier de f (x) = {[[1 , s e 0 < x < pi],[0 , s e pi <= x <= 2 pi]]) no intervalo [ 0 , 2 pi ] .

Passo 1

Vamos começar usando a forma geral da Série de Fourier

f (x) = (a_0)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) [a_n * cos ((n pi x)/(L)) + b_n * s e n ((n pi x)/(L))]

Onde temos os termos 2 L = 2 pi :. L = pi e c = 0

Vamos calcular apenas para valores de f (x) = 1 pois se anulará para f (x) = 0 . Assim o intervalo de integração irá de 0 a pi

Passo 2

Para calcular o coeficiente a_0 e a_k usaremos de

a_n = (1)/(L) int_c^(c + 2 L) f (t) * cos ((n pi t)/(L)) d t

Portanto,

a_0 = (1)/(pi) int_0^(2 pi) f (x) d x

a_0 = (1)/(pi) int_0^(pi) 1 d x

a_0 = (1)/(pi) pi

a_0 = 1

Agora,

a_n = (1)/(pi) int_0^(2 pi) f ( x ) * cos ((n pi x)/(pi)) d x

a_n = (1)/(pi) int_0^(pi) cos (n x) d x

a_n = (1)/(pi) * (s e n (pi n))/(n)

a_n = 0

Passo 3

Agora, precisamos achar o coeficiente b_n tal que

b_n = (1)/(L) int_c^(c + 2 L) f (t) s e n ((n pi t)/(L)) d t

b_n = (1)/(pi) int_0^(2 pi) f ( x ) s e n ((n pi x)/(pi)) d x

b_n = (1)/(pi) int_0^(pi) s e n (n x) d x

b_n = (1)/(pi) (- (cos (pi n) - 1)/(n))

b_n = (2)/(pi n)

Resposta

f (x) = (1)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) (2)/(pi n) s e n ( n x )

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