Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 11d
Verificar se a matriz é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz que diagonaliza e calcular .
Passo 1
O problema fornece uma matriz e pede para verificar se ela é diagonalizável ou não. Se ela for, temos que encontrar a matriz de modo que seja diagonal.
Basicamente, o que temos que fazer é encontrar os autovalores de e seus autovetores associados. Se os autovetores formarem uma base, então a matriz será diagonalizável! Neste caso, as colunas da matriz são as componentes dos autovetores.
já primeira coisa que você tem que tentar fazer é achar os autovalores resolvendo a equação característica:
Assim,
Desenvolvendo o determinante com relação a primeira coluna:
Assim,
Colocando em evidência:
Resolvendo a equação , obtemos e . Assim,
Portanto, os autovalores são
Como a dimensão da matriz é três e ela tem três autovalores distintos, é diagonalizável!
Passo 2
Agora vamos procurar os autovetores pela equação
Para :
Note que a terceira linha é idêntica a primeira, então vamos descarta-la. Fazendo a primeira equação menos a segunda:
Assim, na primeira:
Logo,
Por simplicidade, vamos escolher :
Analogamente, para :
Da terceira equação, tiramos
Assim, a primeira equação se torna idêntica a segunda:
Portanto,
Escolhendo :
Por fim, com :
Da segunda equação, temos
Da terceira:
Logo, :
Tomando :
Passo 3
Para construir a matriz , basta lembrar que suas colunas são os autovetores:
Assim, o produto será diagonal com as entradas da diagonal sendo os autovalores: