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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 12

Seja T :   R 2 → R 2 o operador linear definido por

T x , y = ( 7 x - 4 y ,   - 4 x + y )

a) Determinar uma base do R 2 em relação à qual a matriz do operador é diagonal.

b) Dar a matriz de T nessa base.

Passo 1

A questão fornece um operador linear e pede para acharmos uma base em qua a matriz de transformação é diagonal. Basicamente, o que temos que fazer é achar os autovalores e autovetores de T : a base pedida é formada pelos autovetores!

Na base canônica, temos

T 1 ,   0 = ( 7 ,   - 4 )

T 0 ,   1 = ( - 4 ,   1 )

Assim,

T = 7 - 4 - 4 1

Vamos procurar os autovalores:

7 - λ - 4 - 4 1 - λ = 0

Assim,

7 - λ 1 - λ - 16 = 0

Logo,

λ 2 - 8 λ - 9 = 0

Resolvendo a equação:

λ = 8 ± 64 + 36 2 = 8 ± 10 2

Portanto, os autovalores são

λ 1 = - 1               e         λ 2 = 9

Passo 2

A equação para determinarmos os autovetores é

A - λ I a b c = 0 0 0

Usando λ 1 = - 1 :

8 - 4 - 4 2 a b = 0 0

Do sistema, tiramos

2 a - b = 0 ⇒ b = 2 a

Assim,

v 1 = a ,   b = a ,   2 a = a   ( 1 ,   2 )

Escolhendo a = 1 :

v 1 = ( 1 ,   2 )

Já para λ 2 = 9 :

- 2 - 4 - 4 - 8 a b = 0 0

Daqui, tiramos

- 2 a - 4 b = 0 ⇒ a = - 2 b

Assim,

v 2 = a ,   b = - 2 b ,   b = b   ( - 2 ,   1 )

Tomando b = 1 :

v 2 = ( - 2 ,   1 )

Assim, a base na qual a matriz de transformação é diagonal é

B = { 1 ,   2 ,   - 2 ,   1 }

Nessa base, a matriz de transformação é diagonal com os elementos da diagonal sendo os autovalores:

T B = - 1 0 0 9

Resposta

B = { 1 ,   2 ,   - 2 ,   1 }

T B = - 1 0 0 9

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